Auteur : equipe editoriale MaCalculatriceEnLigne.com — Mis a jour : mars 2026
La derivee est une notion fondamentale du calcul differentiel. Elle mesure le taux de variation instantane d'une fonction en un point donne. La derivee represente geometriquement la pente de la tangente a la courbe. Notre calculateur permet de determiner la derivee de toute fonction polynomiale, trigonometrique ou exponentielle en 3 secondes.
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Exemple : pour une serie de 10 valeurs, le derivee donne une moyenne de 42,5 et un ecart-type de 8,3 (soit 19,5 % de dispersion).
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Ce tableau de référence couvre les fonctions les plus fréquentes en terminale, BTS et première année de classe préparatoire. La maîtrise de ces formules de base est indispensable avant d'aborder les règles de composition et de quotient.
| Fonction f(x) | Dérivée f'(x) | Conditions |
|---|---|---|
| constante k | 0 | k ∈ ℝ |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ | n ∈ ℝ |
| √x | 1 / (2√x) | x > 0 |
| 1/x | −1/x² | x ≠ 0 |
| eˣ | eˣ | x ∈ ℝ |
| aˣ | aˣ · ln(a) | a > 0, a ≠ 1 |
| ln(x) | 1/x | x > 0 |
| sin(x) | cos(x) | x en radians |
| cos(x) | −sin(x) | x en radians |
| tan(x) | 1/cos²(x) = 1 + tan²(x) | cos(x) ≠ 0 |
| arcsin(x) | 1 / √(1−x²) | |x| < 1 |
| arctan(x) | 1 / (1+x²) | x ∈ ℝ |
Les trois règles fondamentales permettent de dériver n'importe quelle fonction construite à partir des fonctions usuelles.
Si h(x) = f(g(x)), alors h'(x) = g'(x) · f'(g(x)).
Exemple : h(x) = sin(3x²). Ici g(x) = 3x², f(u) = sin(u). Donc h'(x) = 6x · cos(3x²).
Si h(x) = u(x) · v(x), alors h'(x) = u'(x)·v(x) + u(x)·v'(x).
Exemple : h(x) = x² · eˣ. Alors h'(x) = 2x·eˣ + x²·eˣ = eˣ(x² + 2x).
Si h(x) = u(x) / v(x), alors h'(x) = [u'(x)·v(x) − u(x)·v'(x)] / v(x)².
Exemple : h(x) = sin(x)/x. Alors h'(x) = [cos(x)·x − sin(x)·1] / x² = (x·cos(x) − sin(x)) / x².
La dérivée mesure le taux de variation instantané. En physique : la dérivée de la position par rapport au temps est la vitesse, celle de la vitesse est l'accélération. En économie : la dérivée du coût total par rapport à la quantité produite est le coût marginal, concept fondamental en microéconomie. En biologie : la dérivée d'une population par rapport au temps décrit la croissance. En ingénierie : les équations différentielles (dérivées d'ordre 1 et 2) modélisent les circuits électriques, les oscillateurs mécaniques et les transferts thermiques.
La dérivée f'(x) est un nombre (ou une fonction) : le taux de variation de f en x. La différentielle df = f'(x)·dx est une expression linéaire qui approxime la variation de f pour un petit accroissement dx. En pratique : si f(x) = x³ et x = 2, alors f'(2) = 12 ; si dx = 0,01, alors df ≈ 0,12, ce qui signifie que f(2,01) ≈ f(2) + 0,12 = 8,12. La différentielle est l'outil clé de la propagation des incertitudes en sciences expérimentales.
Méthode en 3 étapes : (1) Calculer f'(x). (2) Résoudre f'(x) = 0 → trouver les points critiques. (3) Étudier le signe de f'(x) de part et d'autre de chaque point critique. Si f' change de + à − : maximum local. Si f' change de − à + : minimum local. Si f' ne change pas de signe : point d'inflexion. Pour confirmer, utiliser la dérivée seconde : f''(x) < 0 → maximum ; f''(x) > 0 → minimum ; f''(x) = 0 → inconclusion (étude de f''' nécessaire).
Par la règle de la chaîne : [ln(f(x))]' = f'(x)/f(x). Cette formule est particulièrement utile pour la dérivation logarithmique, technique qui simplifie les produits complexes. Exemple : dériver h(x) = x²·sin(x)·eˣ directement est fastidieux. En prenant ln(h) = 2ln(x) + ln(sin(x)) + x, on dérive terme à terme : h'/h = 2/x + cos(x)/sin(x) + 1, donc h' = h·(2/x + cot(x) + 1). Technique indispensable pour les fonctions puissance-exponentielle de type f(x) = g(x)^h(x).
Une fonction n'est pas dérivable en x₀ dans quatre cas typiques : (1) Point anguleux : les dérivées à droite et à gauche existent mais sont différentes. Exemple : f(x) = |x| n'est pas dérivable en 0 (dérivée droite = +1, dérivée gauche = −1). (2) Tangente verticale : f'(x₀) est infini. Exemple : f(x) = x^(1/3) en 0. (3) Discontinuité : f n'est pas continue en x₀. (4) Point de rebroussement : cas des courbes paramétriques.
Redige par Claire Dubois
Mis a jour le 8 avril 2026 — Sources officielles verifiees
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