Calcul Equation Premier Degre
En bref : Resolvez ax + b = 0.
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L'équation du premier degré : formule, méthode et applications réelles
Une équation du premier degré à une inconnue est une équation de la forme ax + b = 0, où a et b sont des nombres réels connus et x est l'inconnue à déterminer. On dit "premier degré" car l'inconnue x apparaît seulement à la puissance 1 (jamais x², jamais x³). C'est le type d'équation le plus fondamental des mathématiques : il est introduit au programme de 5e et reste utilisé jusqu'en terminale dans des contextes de plus en plus complexes.
Formule de résolution
ax + b = 0 ⟹ x = −b / a (si a ≠ 0)
Démonstration : ax + b = 0 → ax = −b → x = −b/a. On isole x en effectuant des opérations identiques des deux côtés de l'égalité (principe d'équivalence).
Cas particuliers : Si a = 0 et b = 0 : l'équation est vraie pour tout x (infinité de solutions). Si a = 0 et b ≠ 0 : l'équation est impossible (aucune solution).
3 exemples concrets avec des situations du quotidien
Exemple 1 — Recette de cuisine : adapter les quantités
Une recette pour 4 personnes demande 300 g de farine. Vous préparez pour N personnes et il vous reste exactement 450 g. Combien de portions pouvez-vous faire ?
Équation : 300x/4 = 450, soit 75x = 450, donc x = 6 personnes.
Forme ax + b = 0 : 75x − 450 = 0 → a = 75, b = −450 → x = 450/75 = 6.
Exemple 2 — Budget voyage : calculer le coût restant
Un billet de train coûte 35 € et vous avez 120 € de budget. Chaque activité sur place coûte 15 €. Combien d'activités pouvez-vous vous offrir ?
Équation : 35 + 15x = 120 → 15x = 85 → x = 85/15 ≈ 5,67 → 5 activités maximum.
Exemple 3 — Bricolage : couper une planche
Une planche de 2,4 m doit être coupée en morceaux de longueur x pour faire des étagères, avec 15 cm de chutes obligatoires. Si vous voulez 5 étagères : 5x + 0,15 = 2,4.
→ 5x = 2,25 → x = 0,45 m = 45 cm par étagère.
Tableau de référence : formes équivalentes
| Forme | Exemple | Résolution |
|---|---|---|
| ax + b = 0 | 3x − 12 = 0 | x = 12/3 = 4 |
| ax = c | 5x = 25 | x = 25/5 = 5 |
| ax + b = c | 2x + 7 = 13 | 2x = 6 → x = 3 |
| ax + b = cx + d | 4x + 1 = 2x + 9 | 2x = 8 → x = 4 |
Méthode pas-à-pas pour résoudre à la main
- Développer les parenthèses si nécessaire (distributivité).
- Regrouper les termes en x à gauche de l'égalité.
- Regrouper les termes constants à droite de l'égalité.
- Factoriser ou simplifier le coefficient de x.
- Diviser les deux membres par le coefficient de x (vérifier qu'il n'est pas nul).
- Vérifier en remplaçant x par la valeur trouvée dans l'équation initiale.
4 erreurs fréquentes des élèves
- Diviser par a sans vérifier que a ≠ 0 : si a = 0, la division est impossible.
- Oublier le signe lors du passage de l'autre côté : 3x + 5 = 0 donne x = −5/3 et non +5/3.
- Ne pas distribuer avant de résoudre : 2(x + 3) = 0 s'écrit d'abord 2x + 6 = 0.
- Confondre équation et expression : "3x + 2" est une expression (pas de solution), "3x + 2 = 0" est une équation.
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Questions fréquentes sur les équations du premier degré
Quelle est la différence entre une équation et une inéquation du premier degré ?
Une équation cherche les valeurs exactes de x qui rendent l'égalité vraie (ax + b = 0 → une seule solution si a ≠ 0). Une inéquation cherche l'ensemble des valeurs de x qui vérifient ax + b > 0 (ou ≥, <, ≤). La résolution est similaire, mais attention : si on multiplie ou divise par un nombre négatif, le sens de l'inégalité s'inverse.
Comment résoudre une équation du premier degré avec fractions ?
Multiplier les deux membres par le PPCM des dénominateurs pour éliminer les fractions. Exemple : x/3 + 1/2 = 2. PPCM(3,2) = 6. Multiplier par 6 : 2x + 3 = 12 → 2x = 9 → x = 4,5. Toujours vérifier en réinjectant dans l'équation d'origine.
Au programme de quelle classe apprend-on les équations du premier degré ?
Les équations du premier degré sont introduites officiellement en 5e (résolution de la forme x + a = b) et approfondies en 4e (forme ax + b = 0) puis en 3e (équations avec développement). Au lycée, elles restent utilisées dans des contextes appliqués : fonctions affines en 2de, systèmes d'équations en 1ère, optimisation en terminale.
Peut-on avoir une équation du premier degré sans solution ?
Oui, si a = 0 et b ≠ 0. Par exemple : 0x + 5 = 0 s'écrit 5 = 0, ce qui est toujours faux. Cette équation n'a aucune solution. À l'inverse, 0x + 0 = 0 est toujours vraie : toute valeur de x est solution (ensemble de solutions = ℝ).
Quelle est la différence entre une équation du premier et du second degré ?
Dans une équation du premier degré, x apparaît à la puissance 1 : ax + b = 0. Dans une équation du second degré, x apparaît à la puissance 2 : ax² + bx + c = 0. Le premier degré a toujours au plus 1 solution réelle. Le second degré peut avoir 0, 1 ou 2 solutions réelles selon le discriminant Δ = b² − 4ac.
Comment vérifier qu'une solution est correcte ?
Substituez la valeur trouvée à la place de x dans l'équation initiale et vérifiez que l'égalité est satisfaite. Exemple : pour 3x − 12 = 0, la solution est x = 4. Vérification : 3×4 − 12 = 12 − 12 = 0. ✓ C'est juste. Si la vérification échoue, refaites le calcul en cherchant l'erreur de signe ou de distributivité.
Peut-on résoudre graphiquement une équation du premier degré ?
Oui. La fonction f(x) = ax + b représente une droite dans un repère. La solution de ax + b = 0 correspond à l'abscisse du point d'intersection de cette droite avec l'axe des abscisses (où y = 0). Graphiquement, c'est le zéro de la fonction affine. Cette approche est très utile pour visualiser le sens d'une équation et repérer des erreurs de calcul.
Les équations du premier degré sont-elles utiles dans la vraie vie ?
Absolument. Elles modélisent toute relation linéaire : tarification (forfait + prix à l'unité), distances et vitesses constantes, répartition de quantités, calcul de seuils de rentabilité en comptabilité, dosage en pharmacie. La forme ax + b = c se retrouve dans chaque problème impliquant une progression régulière et une valeur cible à atteindre.