Calcul Logarithme
En bref : Calculez le logarithme d'un nombre.
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Le logarithme : définition, propriétés et applications concrètes
Le logarithme est l'opération inverse de l'exponentiation. Là où la puissance répond à "combien vaut bⁿ ?", le logarithme répond à "à quelle puissance faut-il élever b pour obtenir x ?". C'est un outil fondamental en terminale scientifique, mais aussi en acoustique (décibels), en chimie (pH), en informatique (complexité algorithmique) et en finance (calculs d'intérêts composés).
Définition et formule générale
log_b(x) = y ⟺ b^y = x (b > 0, b ≠ 1, x > 0)
Cas particuliers :
- log₁₀(x) = logarithme décimal (noté "log") : base 10. log₁₀(1000) = 3 car 10³ = 1000.
- ln(x) = logarithme naturel (base e ≈ 2,71828). C'est le logarithme du programme de terminale scientifique.
- log₂(x) = logarithme binaire. Base de l'informatique : log₂(1024) = 10 car 2¹⁰ = 1024.
Propriétés fondamentales (pour tout a, b, x, y > 0)
log(x × y) = log(x) + log(y)
log(x / y) = log(x) − log(y)
log(xⁿ) = n × log(x)
log_b(x) = ln(x) / ln(b) [formule de changement de base]
3 exemples concrets avec des applications réelles
Exemple 1 — Acoustique : les décibels
Le niveau sonore en décibels est défini par L = 10 × log₁₀(I/I₀) où I est l'intensité sonore et I₀ = 10⁻¹² W/m² est le seuil d'audition. Un bruit de conversation = 60 dB, un concert = 110 dB. La différence de 50 dB correspond à un facteur d'intensité de 10⁵ = 100 000 fois plus fort. Le logarithme permet de compresser des échelles gigantesques en nombres maniables.
Exemple 2 — Chimie : le pH de l'eau
Le pH d'une solution est défini comme pH = −log₁₀([H⁺]) où [H⁺] est la concentration en ions hydrogène. Une eau pure a [H⁺] = 10⁻⁷ mol/L, donc pH = −log₁₀(10⁻⁷) = 7. Un soda avec [H⁺] = 10⁻³ mol/L donne pH = 3 (acide). Le logarithme transforme des concentrations infimes (10⁻¹⁴ à 10⁻¹) en une échelle simple de 0 à 14.
Exemple 3 — Finance : temps de doublement d'un capital
Un capital placé à r% par an double en combien d'années ? On résout : (1 + r/100)^n = 2 → n × ln(1 + r/100) = ln(2) → n = ln(2) / ln(1 + r/100).
À 5% : n = ln(2)/ln(1,05) = 0,693/0,0488 ≈ 14,2 années (règle empirique : 70/taux en %).
Tableau de référence : valeurs remarquables des logarithmes
| x | log₁₀(x) | ln(x) | log₂(x) |
|---|---|---|---|
| 0,1 | −1 | −2,303 | −3,322 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 0,301 | 0,693 | 1 |
| e ≈ 2,718 | 0,434 | 1 | 1,443 |
| 10 | 1 | 2,303 | 3,322 |
| 100 | 2 | 4,605 | 6,644 |
| 1000 | 3 | 6,908 | 9,966 |
Méthode pas-à-pas pour calculer un logarithme sans calculatrice
- Identifier si x est une puissance entière de la base : si log₁₀(x) avec x = 10^n, alors log₁₀(x) = n.
- Décomposer x en produit de puissances connues : log(1000) = log(10 × 100) = log(10) + log(100) = 1 + 2 = 3.
- Utiliser la propriété des produits : log(a × b) = log(a) + log(b).
- Pour des valeurs quelconques, utiliser la table ci-dessus ou appliquer la formule de changement de base avec ln.
4 erreurs fréquentes avec les logarithmes
- log(x + y) ≠ log(x) + log(y) : la propriété d'addition s'applique aux produits, pas aux sommes.
- log(x) × log(y) ≠ log(x × y) : c'est log(x) + log(y) pour un produit.
- Calculer le log d'un nombre négatif ou nul : log(x) n'existe pas pour x ≤ 0. C'est une erreur courante en résolution d'équation.
- Confondre log et ln : sur une calculatrice, "log" est souvent log₁₀ et "ln" est le logarithme naturel (base e). En maths de terminale française, "ln" est exclusivement utilisé.
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Questions fréquentes sur le calcul de logarithme
Quelle est la différence entre log, ln et log₂ ?
log (ou log₁₀) est le logarithme en base 10 : log(100) = 2 car 10² = 100. ln est le logarithme naturel en base e ≈ 2,71828 : ln(e) = 1. log₂ est le logarithme en base 2, utilisé en informatique : log₂(8) = 3 car 2³ = 8. En terminale française, le programme officiel porte exclusivement sur ln (logarithme népérien). La touche "log" d'une calculatrice correspond à log₁₀.
Peut-on calculer le logarithme d'un nombre négatif ?
Non, dans le domaine des réels. La fonction logarithme n'est définie que pour x > 0. log(−5) ou ln(0) n'existent pas dans ℝ. Cette restriction vient du fait que bʸ est toujours positif pour b > 0, donc bʸ = x n'a pas de solution réelle si x ≤ 0. En mathématiques avancées (nombres complexes), le logarithme complexe existe mais dépasse le programme de terminale.
Comment résoudre une équation avec un logarithme (ex: ln(x) = 3) ?
Appliquer la fonction exponentielle des deux côtés (opération inverse du logarithme). ln(x) = 3 → e^(ln(x)) = e³ → x = e³ ≈ 20,09. De même, log₁₀(x) = 2 → x = 10² = 100. En terminale, les équations du type ln(x) + ln(x−1) = 0 se traitent en utilisant les propriétés (ln(x(x−1)) = 0 → x(x−1) = e⁰ = 1) avec vérification du domaine.
À quel niveau scolaire apprend-on le logarithme en France ?
Le logarithme décimal (log₁₀) est mentionné en physique-chimie dès la 1ère (pH, intensité sonore). Le logarithme népérien ln est au programme officiel de terminale scientifique (maths, spécialité mathématiques). En BTS et IUT scientifiques, les deux sont utilisés extensivement. En CPGE, la maîtrise complète des propriétés et des équations logarithmiques est exigée dès la première année.
Que signifie concrètement ln(e) = 1 ?
Cela signifie que e¹ = e. En d'autres termes, pour obtenir e à partir de la base e, il suffit d'une seule multiplication (exposant 1). Plus généralement, pour toute base b : log_b(b) = 1 car b¹ = b. Et log_b(1) = 0 car b⁰ = 1 pour tout b > 0. Ces deux résultats sont des valeurs de référence à mémoriser absolument.
Comment utiliser les logarithmes pour comparer de très grands nombres ?
C'est l'une des forces du logarithme. La masse du Soleil est ≈ 2×10³⁰ kg et un proton ≈ 1,67×10⁻²⁷ kg. Le rapport est 10⁵⁷. En prenant log₁₀, ce rapport devient simplement 57, un chiffre gérable. En astronomie, physique des particules et sismologie (échelle de Richter), les logarithmes permettent de travailler sur des ordres de grandeur plutôt que des valeurs absolues impossibles à manipuler.
Quelle est la relation entre ln et la dérivation ?
La fonction ln(x) est la primitive de 1/x pour x > 0 : ∫(1/x)dx = ln(x) + C. Sa dérivée est : (ln(x))' = 1/x. Cette propriété fondamentale est au cœur du calcul intégral de terminale et des études supérieures. Elle explique pourquoi ln apparaît dans de nombreuses primitives (ln est la clé pour intégrer des fractions rationnelles).
Peut-on calculer log₇(50) sans calculatrice scientifique ?
Avec la formule de changement de base : log₇(50) = ln(50)/ln(7) = log(50)/log(7). log₁₀(50) ≈ 1,699 et log₁₀(7) ≈ 0,845. Donc log₇(50) ≈ 1,699/0,845 ≈ 2,01. Vérification : 7² = 49 ≈ 50. Donc log₇(50) ≈ 2. Avec une simple connaissance de log(2) ≈ 0,301, log(5) ≈ 0,699, log(7) ≈ 0,845, on peut estimer la plupart des logarithmes décimaux.