Calcul Produit en Croix
En bref : Calculez le produit en croix.
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Le produit en croix : principe, démonstration et applications concrètes
Le produit en croix (ou règle de trois) est la technique la plus utilisée pour trouver une quatrième valeur dans une proportion. Si trois valeurs a, b, c sont connues avec a/b = c/x (ou de façon équivalente a×x = b×c), alors x = b×c/a. C'est une conséquence directe de la propriété fondamentale des proportions. Le produit en croix est introduit en 5e et reste l'un des outils de calcul les plus sollicités dans la vie professionnelle et quotidienne.
Formule du produit en croix
Si a/b = c/x (tableau de proportionnalité), alors :
x = (b × c) / a [si a ≠ 0]
Représentation en croix :
a | b
——+——
c | x = (b×c)/a
Démonstration : a/b = c/x → a×x = b×c (multiplication en croix des deux membres) → x = b×c/a (division des deux membres par a).
3 exemples concrets avec des situations du quotidien
Exemple 1 — Cuisine : adapter une recette
Une recette de gâteau pour 6 personnes demande 240 g de sucre. Combien faut-il de sucre pour 10 personnes ?
6 pers. → 240 g
10 pers. → x g
x = (10 × 240) / 6 = 2400 / 6 = 400 g de sucre
Exemple 2 — Voyage : calculer une distance sur carte
Sur une carte au 1/25 000, la distance entre deux villes mesure 8 cm. Quelle est la distance réelle en km ?
1 cm carte → 25 000 cm réels
8 cm carte → x cm réels
x = (8 × 25 000) / 1 = 200 000 cm = 2 km
Exemple 3 — Consommation : calculer un coût au kilomètre
Une voiture consomme 6,5 L/100 km. Le carburant coûte 1,85 €/L. Quel est le coût d'un trajet de 320 km ?
100 km → 6,5 L
320 km → x L → x = (320 × 6,5) / 100 = 20,8 L
Coût = 20,8 × 1,85 = 38,48 €
Tableau de référence : schéma du produit en croix
| Situation | Valeur 1 | Valeur 2 | Inconnue | Résultat |
|---|---|---|---|---|
| Recette (6→10 pers) | 6 pers / 240 g | 10 pers / ? | sucre | 400 g |
| Carte 1/25 000 | 1 cm / 25 000 cm | 8 cm / ? | distance réelle | 2 km |
| Taux de change | 1 € / 1,08 $ | 250 € / ? | dollars | 270 $ |
| Vitesse constante | 2h / 130 km | 5h / ? | distance | 325 km |
Méthode pas-à-pas pour appliquer le produit en croix
- Identifier les deux grandeurs proportionnelles et disposer les valeurs en tableau (2 colonnes, 2 lignes).
- Placer l'inconnue x dans la case manquante.
- Multiplier en croix : x × valeur connue de la même colonne = produit des deux valeurs croisées.
- Isoler x en divisant par la valeur connue dans la même colonne que x.
- Vérifier la cohérence : si la première grandeur augmente, la seconde doit aussi augmenter (proportionnalité directe).
4 erreurs typiques des élèves
- Appliquer le produit en croix quand la relation n'est pas proportionnelle : la consommation d'un appareil en veille n'est pas proportionnelle au nombre d'heures d'utilisation intense. Vérifiez toujours si la situation implique bien une proportionnalité directe.
- Inverser les valeurs croisées : dans a/b = c/x, on calcule x = b×c/a (pas a×c/b). Dessinez toujours le tableau avant de calculer.
- Confondre proportionnalité directe et inverse : si le prix double quand la quantité double, c'est direct. Si le temps diminue quand la vitesse augmente, c'est inverse (produit constant, pas quotient).
- Oublier les unités : un produit en croix donne un résultat dans une unité précise. Vérifiez toujours que votre résultat a une unité cohérente avec la question posée.
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Questions fréquentes sur le produit en croix
Quelle est la différence entre le produit en croix et la règle de trois ?
Ce sont deux noms pour le même calcul. La "règle de trois" est l'ancienne dénomination (si on connaît 3 valeurs, on en déduit une quatrième). Le "produit en croix" décrit la manipulation algébrique (multiplier en diagonale dans un tableau). En France, le programme officiel de 5e parle de "propriété fondamentale des proportions" ou "quatrième proportionnelle". En pratique, les termes sont interchangeables.
Peut-on utiliser le produit en croix avec des pourcentages ?
Absolument. Si 100% correspond à 250 €, combien représente 35% ? Tableau : 100% → 250 € / 35% → x €. x = (35 × 250)/100 = 87,5 €. Le produit en croix est la base de tous les calculs de pourcentage. On peut aussi l'utiliser à l'envers : si un article coûte 175 € après réduction de 30%, quel était son prix initial ? 70% → 175 €, 100% → x = (100 × 175)/70 = 250 €.
Comment savoir si une situation est une proportionnalité directe ou inverse ?
En proportionnalité directe (produit en croix standard) : quand une grandeur double, l'autre double aussi. Exemples : prix et quantité, distance et durée à vitesse constante. En proportionnalité inverse : quand une grandeur double, l'autre est divisée par 2. Exemples : vitesse et durée pour une distance fixée, nombre d'ouvriers et temps de travail. Pour la proportionnalité inverse, on utilise le produit constant (a×b = c×d) au lieu du quotient constant.
Le produit en croix fonctionne-t-il avec des fractions ou des décimaux ?
Oui, parfaitement. x = (b×c)/a fonctionne avec tous types de nombres. Exemple avec décimaux : 2,5 cm sur carte correspond à 1,25 km réel. Pour 3,8 cm : x = (3,8 × 1,25)/2,5 = 4,75/2,5 = 1,9 km. Avec des fractions : si 2/3 de litre coûte 1,50 €, 5/4 de litre coûte x = (5/4 × 1,50)/(2/3) = (5/4 × 3/2) × 1,50 = 15/8 × 1,50 = 2,8125 €.
À quoi sert concrètement le produit en croix dans la vie professionnelle ?
Il intervient dans de très nombreux métiers : cuisine et restauration (adapter les quantités), pharmacie (calculer les dosages médicamenteux), BTP (extrapoler les matériaux nécessaires), commerce (calculer des remises, marges, TVA), cartographie et architecture (travailler avec des échelles), mécanique (rapports de vitesse, engrenages). C'est l'un des calculs mathématiques les plus utilisés hors cadre scolaire.
Comment utiliser le produit en croix pour les taux de change ?
Si 1 € = 1,08 $ : Pour convertir 350 € en dollars, x = (350 × 1,08)/1 = 378 $. Pour convertir 450 $ en euros : (1 € / 1,08 $) = (x € / 450 $) → x = (450 × 1)/1,08 = 416,67 €. Attention : le taux de change évolue constamment. Pour un voyage, vérifiez toujours le taux du jour.
Peut-on avoir un produit en croix avec trois grandeurs liées ?
Oui, c'est le cas de la règle de trois composée. Exemple : 3 ouvriers produisent 60 pièces en 4 heures. Combien 5 ouvriers produisent-ils en 7 heures ? On fait deux produits en croix successifs. D'abord : 3 → 60 pièces, 5 → ? = 100 pièces (en 4h). Puis : 4h → 100, 7h → ? = 175 pièces. Ce type de problème est fréquent dans les tests d'admission professionnels et les concours administratifs.
Quel est le niveau scolaire attendu pour maîtriser le produit en croix ?
La proportionnalité et le produit en croix sont introduits en 5e (programme Education Nationale, cycle 4). En 4e, on attend une maîtrise complète incluant les pourcentages et les échelles. En 3e, les problèmes de proportionnalité apparaissent dans les épreuves du brevet des collèges. Au lycée, la notion de coefficient de proportionnalité et de linéarité en 2de généralise ces concepts.