Calculatrice loi binomiale B(n,p) — P(X=k), P(X≤k), espérance et variance Simulateur Gratuit
En bref : Loi binomiale : P(X=k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k). Exemple : 3 succès sur 5 essais à 60% = C(5,3) × 0,6³ × 0,4² = 34,56%.
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Probabilités exactes et cumulées • Espérance E[X]=n·p • Variance Var[X]=n·p·(1−p)
TL;DR
- X ~ B(n,p) ; P(X=k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k)
- P(X≤k) = ∑_{i=0..k} C(n,i)·p^i·(1−p)^(n−i)
- E[X]=n·p ; Var[X]=n·p·(1−p)
Paramètres
Formules
- P(X=k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k)
- P(X≤k) = ∑ C(n,i)·p^i·(1−p)^(n−i)
- C(n,k) = n! / (k!·(n−k)!)
- E[X]=n·p ; Var[X]=n·p·(1−p)
Comprendre la loi binomiale
La loi binomiale B(n,p) modélise le nombre de succès dans une série de n essais indépendants, chacun ayant une probabilité p de succès. C'est l'une des distributions les plus fondamentales en probabilités.
Conditions d'application
- Nombre fixe d'essais : n est connu à l'avance
- Essais indépendants : le résultat d'un essai n'influence pas les autres
- Probabilité constante : p reste identique pour chaque essai
- Deux issues possibles : succès (probabilité p) ou échec (probabilité 1-p)
Tableau de probabilités binomiales
Exemple pour n=10 essais avec p=0,5 :
| k | P(X=k) | P(X≤k) |
|---|---|---|
| 0 | 0,10% | 0,10% |
| 3 | 11,72% | 17,19% |
| 5 | 24,61% | 62,30% |
| 7 | 11,72% | 94,53% |
| 10 | 0,10% | 100% |
Applications pratiques
Contrôle qualité
Une usine produit des pièces avec 2% de défauts. Sur un lot de 50 pièces, quelle est la probabilité d'avoir au plus 2 pièces défectueuses ? X ~ B(50, 0,02), on calcule P(X≤2).
Sondages et enquêtes
Si 60% de la population est favorable à une mesure, quelle est la probabilité que sur 20 personnes interrogées, au moins 15 soient favorables ? X ~ B(20, 0,6), on calcule P(X≥15).
Tests médicaux
Un test de dépistage a une sensibilité de 95%. Sur 100 patients malades testés, combien de faux négatifs peut-on attendre ? E[X] = 100 × 0,05 = 5 faux négatifs en moyenne.
Jeux de hasard
Probabilité d'obtenir exactement 3 "6" en lançant 10 dés : X ~ B(10, 1/6), P(X=3) ≈ 15,5%.
Approximations de la loi binomiale
Approximation normale (théorème de Moivre-Laplace)
Si n est grand et p n'est pas trop proche de 0 ou 1 (règle : np ≥ 5 et n(1-p) ≥ 5), alors :
B(n,p) ≈ N(μ = np, σ² = np(1-p))
On utilise la correction de continuité : P(X ≤ k) ≈ Φ((k + 0,5 - np) / √(np(1-p)))
Approximation de Poisson
Si n est grand et p est petit (règle : n ≥ 20 et p ≤ 0,05), alors :
B(n,p) ≈ Poisson(λ = np)
Utile pour les événements rares (accidents, pannes, mutations génétiques).
Erreurs courantes
- Oublier l'indépendance : si les essais sont liés (tirage sans remise), utiliser la loi hypergéométrique.
- Confondre P(X=k) et P(X≤k) : la première est ponctuelle, la seconde est cumulée.
- Mal calculer C(n,k) : attention aux factorielles, utiliser la formule récursive pour éviter les dépassements.
- Appliquer l'approximation normale trop tôt : vérifier que np ≥ 5 et n(1-p) ≥ 5.
À lire ensuite
FAQ
Quand utiliser la loi binomiale ?
Lorsque les essais sont indépendants et de même probabilité p, avec un succès/échec par essai.
Quelle est la différence entre P(X=k) et P(X≤k) ?
La première est la probabilité ponctuelle, la seconde la probabilité cumulée jusqu'à k.
Quand l’approximation normale est‑elle valable ?
Typiquement si n·p ≥ 5 et n·(1−p) ≥ 5 (et p pas trop proche de 0 ni 1).