Loi binomiale B(n,p) — Formule, exemples et cas d’usage
La loi binomiale B(n,p) modélise le nombre de succès dans n essais indépendants, chacun ayant une probabilité p de succès. Outil de base en probabilités, statistiques et mathématiques.
TL;DR
- P(X=k) = C(n,k) · p^k · (1−p)^(n−k)
- E = n · p, Var = n · p · (1−p) ; approx. normale si n · p et n · (1−p) ≥ 5
- Cas : essais indépendants, même p sur n répétitions
Définition et formule
Si X ~ B(n,p), alors pour k entier entre 0 et n :
P(X = k) = C(n,k) · p^k · (1 − p)^{n − k}
où C(n,k) est le coefficient binomial (combinaisons) : C(n,k) = n! / (k!(n−k)!)
- Espérance (moyenne) : E[X] = n·p
- Variance : Var(X) = n·p·(1−p)
Conditions d’application
- n essais identiques et indépendants
- À chaque essai : deux issues (succès/échec) avec p constant
- Variable comptant le nombre de succès
Exemples concrets
Lancers de pièce (p = 0,5)
Pour n=10, probabilité d’obtenir k=7 faces : C(10,7)·0,5^{7}·0,5^{3}
Qualité industrielle
Une chaîne a p=0,02 de défaut par pièce. Sur n=100 pièces, probabilité d’au plus 3 défauts : ∑_{k=0..3} C(100,k)·0,02^k·0,98^{100−k}
Approximation normale
Quand n·p ≥ 5 et n·(1−p) ≥ 5, la binomiale peut être approximée par une loi normale de moyenne μ = n·p et écart-type σ = √(n·p·(1−p)) (avec correction de continuité).
Cas d’usage typiques
- Tests en statistiques (proportions, données binaires)
- Contrôle qualité, fiabilité
- Essais répétés en mathématiques appliquées
FAQ
Comment calculer P(X=k) ?
Utilisez P(X=k)=C(n,k)·p^k·(1−p)^{n−k}. Le terme C(n,k) se lit « combinaisons ».
Quelle est la moyenne d’une binomiale ?
E[X]=n·p. La variance vaut n·p·(1−p).
Quand utiliser l’approximation normale ?
Dès que n·p et n·(1−p) sont suffisamment grands (≈5).