Loi normale — Z‑score, courbe en cloche et approximation binomiale
La loi normale (courbe en cloche) est omniprésente en statistiques. Elle dépend de la moyenne μ et de l’écart‑type σ. Le Z‑score standardise une valeur pour consulter des probabilités.
TL;DR
- X ~ N(μ, σ²), Z = (x−μ)/σ → P(X≤x) = Φ(Z)
- Règle 68–95–99,7 ; |Z|>2 → valeur atypique
- Approx. binomiale : μ = n·p, σ = √(n·p·(1−p))
Paramètres et propriétés
- μ (moyenne) — tendance centrale
- σ (écart‑type) — variabilité (σ² = variance)
- Symétrique, unimodale, densité en cloche
Standardisation : Z‑score
Z = (X − μ) / σ
Permet d’utiliser la normale centrée réduite N(0,1) pour lire des probabilités dans les tables.
Voir aussi notre guide détaillé « Z‑score — définition et interprétation » pour la lecture des tables et des seuils usuels.
Exemple
Notes sur 20 ~ N(μ=12, σ=3). Quel est le Z‑score pour 17 ? Z = (17−12)/3 ≈ 1,67.
Probabilités et intervalles
- Règle 68–95–99,7 : ≈68% dans [μ−σ, μ+σ], 95% dans [μ−2σ, μ+2σ]
- P(X ≤ x) via Z‑score et tables/calculettes
- Intervalles de confiance (statistiques inférentielles)
Approximation de la loi binomiale
Si n·p ≥ 5 et n·(1−p) ≥ 5, alors B(n,p) ≈ N(μ=n·p, σ=√(n·p·(1−p))) (utiliser la correction de continuité).
Cas d’usage
- Distribution de données naturelles (mesures, tailles, erreurs)
- Notes scolaires (modèle simplifié)
- Sommes de variables aléatoires (théorème central limite)
FAQ
Quelle est la différence entre σ et σ² ?
σ est l’écart‑type (dispersion). σ² est la variance.
À quoi sert le Z‑score ?
À comparer des valeurs à des distributions différentes via N(0,1) et à lire des probabilités.
Quand l’approximation binomiale → normale est‑elle valide ?
Quand n est grand et p pas trop proche de 0 ni 1 (critère classique : n·p ≥ 5 et n·(1−p) ≥ 5).