Z‑score : définition, interprétation et cas d’usage (tables, exemples)
📌 En bref : Les probabilités mesurent la chance qu'un événement se produise, sur une échelle de 0 à 1. Formule de base : P(A) = cas favorables / cas possibles.
Le Z‑score permet de standardiser une valeur en unités d’écart‑type pour utiliser la normale centrée réduite N(0,1) et lire des probabilités.
TL;DR
- Z = (x−μ) / σ ; on consulte P(X≤x) via Φ(Z)
- Repères : |Z| ≈ 1 (fréquent), |Z| ≈ 2 (atypique), |Z| ≥ 3 (très rare)
- Applications : notes, mesures, détection de valeurs aberrantes
Définition
Z = (X − μ) / σ. On transforme X en une variable suivant approximativement N(0,1) lorsque X est normale.
Dans la pratique, on lit Φ(Z) (fonction de répartition) dans des tables ou via une calculatrice.
Interprétation
- Z ≈ 0 : valeur proche de la moyenne
- |Z| ≈ 1 : courant ; ≈ 68% dans [μ−σ, μ+σ]
- |Z| ≈ 2 : atypique ; ≈ 95% dans [μ−2σ, μ+2σ]
- |Z| ≥ 3 : très rare ; ≈ 99.7% dans [μ−3σ, μ+3σ]
Table des valeurs Z usuelles
| Z | Φ(Z) = P(X≤z) | P(|Z|≤z) | Usage |
|---|---|---|---|
| 0,00 | 0,5000 | 0% | Médiane |
| 1,00 | 0,8413 | 68,27% | ±1σ |
| 1,64 | 0,9495 | 90% | IC 90% |
| 1,96 | 0,9750 | 95% | IC 95% |
| 2,00 | 0,9772 | 95,45% | ±2σ |
| 2,58 | 0,9951 | 99% | IC 99% |
| 3,00 | 0,9987 | 99,73% | ±3σ |
Seuils de significativité statistique
| Niveau α | Z critique (bilatéral) | Z critique (unilatéral) | Domaine |
|---|---|---|---|
| 10% | ±1,645 | 1,282 | Exploratoire |
| 5% | ±1,960 | 1,645 | Standard |
| 1% | ±2,576 | 2,326 | Médical |
| 0,1% | ±3,291 | 3,090 | Physique |
Exemples de calcul détaillés
Exemple 1 : Notes d'examen
Données : Moyenne μ = 12/20, écart-type σ = 2,5. Un étudiant obtient 17/20.
Calcul : Z = (17 - 12) / 2,5 = 2,0
Interprétation : Φ(2,0) = 0,9772 → L'étudiant fait mieux que 97,7% de la classe. C'est une performance exceptionnelle (top 2,3%).
Exemple 2 : Contrôle qualité industriel
Données : Poids nominal μ = 500g, tolérance σ = 5g. Un produit pèse 488g.
Calcul : Z = (488 - 500) / 5 = -2,4
Interprétation : |Z| > 2 → Valeur atypique. Φ(-2,4) = 0,0082 → Seulement 0,82% des produits sont aussi légers. Produit à rejeter si seuil à ±2σ.
Exemple 3 : Taille humaine
Données : Hommes français : μ = 175 cm, σ = 7 cm. Quelle proportion mesure plus de 190 cm ?
Calcul : Z = (190 - 175) / 7 = 2,14
Interprétation : P(X > 190) = 1 - Φ(2,14) = 1 - 0,9838 = 1,62%. Environ 1 homme sur 62 mesure plus de 190 cm.
Pièges fréquents
- Confondre σ (écart‑type) et σ² (variance)
- Appliquer le Z‑score hors hypothèse de normalité
- Oublier la correction de continuité quand on approxime une binomiale par une normale
Ressources liées
FAQ
À quoi sert le Z‑score ?
À comparer des valeurs issues de distributions différentes en ramenant l’unité à l’écart‑type.
Comment lire Φ(Z) ?
Dans des tables (papier) ou via une calculatrice/logiciel qui fournit P(X≤x) = Φ(Z).
Quand utiliser la correction de continuité ?
Lorsqu’on approxime une loi discrète (binomiale) par une loi continue (normale).