Moyenne géométrique et harmonique : cas d'usage (taux, vitesses, ratios) Guide Complet
Maîtrisez les moyennes spécialisées : moyenne géométrique pour les taux de croissance et moyenne harmonique pour les vitesses. Formules, exemples concrets et différences avec la moyenne arithmétique.
Moyenne géométrique : définition et formule
Définition
La moyenne géométrique de n valeurs est la racine n-ième de leur produit. Elle mesure la tendance centrale multiplicative.
Formule
Moyenne géométrique = â¿âˆš(xâ‚ × xâ‚‚ × ... × xâ‚™)
Ou en logarithmes : exp(Σ(ln(xᵢ))/n)
Exemple simple
Valeurs : 2, 8, 32
Calcul : ³âˆš(2 × 8 × 32) = ³âˆš512 = 8
La moyenne géométrique est 8, alors que la moyenne arithmétique serait (2+8+32)/3 = 14.
Cas d'usage de la moyenne géométrique
1. Taux de croissance
Pour calculer un taux de croissance moyen sur plusieurs périodes.
Exemple : croissance d'une entreprise
Croissances annuelles : +10%, +20%, -5%
Facteurs multiplicatifs : 1,10 × 1,20 × 0,95 = 1,254
Moyenne géométrique : ³âˆš1,254 = 1,078
Résultat : croissance moyenne de 7,8% par an
2. Indices et ratios financiers
Pour moyenner des ratios, pourcentages ou indices boursiers sur plusieurs périodes.
3. Vitesses moyennes avec distances égales
Quand on parcourt des distances égales à des vitesses différentes.
Exemple : 3 étapes de 100 km
Vitesses : 60 km/h, 80 km/h, 120 km/h
Moyenne géométrique : ³âˆš(60×80×120) = ³âˆš576000 ≈ 83,2 km/h
Moyenne harmonique : définition et formule
Définition
La moyenne harmonique est l'inverse de la moyenne arithmétique des inverses. Elle privilégie les petites valeurs.
Formule
Moyenne harmonique = n / (1/xâ‚ + 1/xâ‚‚ + ... + 1/xâ‚™)
Exemple simple
Valeurs : 2, 4, 8
Calcul : 3 / (1/2 + 1/4 + 1/8) = 3 / (0,5 + 0,25 + 0,125) = 3 / 0,875 ≈ 3,43
Cas d'usage de la moyenne harmonique
1. Vitesses moyennes avec temps égaux
Quand on voyage pendant des durées égales à des vitesses différentes.
Exemple : 3 heures de voyage
Vitesses : 60 km/h, 80 km/h, 120 km/h (1h chacune)
Distances : 60 + 80 + 120 = 260 km en 3h
Vitesse moyenne réelle : 260/3 ≈ 86,7 km/h
Moyenne harmonique : 3/(1/60+1/80+1/120) ≈ 80 km/h
Note : ni arithmétique ni harmonique ne donnent le bon résultat ici !
2. Débits et cadences
Pour moyenner des débits, cadences de production, ou taux de traitement.
Exemple : débit réseau
Débits mesurés : 10 Mbps, 20 Mbps, 5 Mbps
Moyenne harmonique : 3/(1/10+1/20+1/5) = 3/0,35 ≈ 8,57 Mbps
Plus représentative que la moyenne arithmétique (11,67 Mbps)
3. Ratios financiers
P/E ratios, ratios de liquidité, ou tout ratio où les petites valeurs sont critiques.
Comparaison des trois moyennes
Inégalité fondamentale
Pour des valeurs positives : Moyenne harmonique ≤ Moyenne géométrique ≤ Moyenne arithmétique
Exemple avec 4, 9, 16
| Type | Calcul | Résultat |
|---|---|---|
| Harmonique | 3/(1/4+1/9+1/16) | ≈ 6,86 |
| Géométrique | ³âˆš(4×9×16) | ≈ 8,00 |
| Arithmétique | (4+9+16)/3 | ≈ 9,67 |
Quand les trois sont égales
Uniquement quand toutes les valeurs sont identiques.
Guide de choix selon le contexte
| Contexte | Moyenne recommandée | Raison |
|---|---|---|
| Taux de croissance | Géométrique | Nature multiplicative |
| Vitesses (distances égales) | Harmonique | Temps inversement proportionnel |
| Vitesses (temps égaux) | Arithmétique | Distance proportionnelle |
| Indices boursiers | Géométrique | Évolutions multiplicatives |
| Débits réseau | Harmonique | Goulots d'étranglement |
| Notes scolaires | Arithmétique | Données additives |
| Ratios P/E | Harmonique | Éviter biais des valeurs hautes |
Erreurs courantes à éviter
1. Moyenne géométrique avec valeurs négatives
⌠Impossible de calculer la racine d'un produit négatif.
✅ Convertissez en indices (base 100) ou utilisez les valeurs absolues.
2. Moyenne harmonique avec zéros
⌠Division par zéro impossible.
✅ Excluez les valeurs nulles ou utilisez une autre méthode.
3. Confusion vitesse/temps
Vérifiez si vous moyennez sur des distances égales (harmonique) ou des temps égaux (arithmétique).
Calculs pratiques
Avec Excel/Sheets
- Moyenne géométrique :
=MOYENNE.GEOMETRIQUE(plage) - Moyenne harmonique :
=MOYENNE.HARMONIQUE(plage)
Avec calculatrice
Géométrique : utilisez la fonction racine n-ième ou les logarithmes.
Harmonique : calculez 1/x pour chaque valeur, moyennez, puis prenez l'inverse.
Questions fréquentes
Quand utiliser la moyenne géométrique plutôt qu'arithmétique ?
Pour les taux, pourcentages, ratios et toute donnée de nature multiplicative.
La moyenne harmonique est-elle toujours plus petite ?
Oui, sauf si toutes les valeurs sont identiques (alors les trois moyennes sont égales).
Comment interpréter une moyenne géométrique ?
C'est la valeur constante qui, répétée n fois, donnerait le même produit final.
Besoin d'une moyenne arithmétique classique ?
Pour la plupart des cas courants, utilisez notre calculateur standard :
Calculer ma moyenne