La racine carrée : définition et propriétés fondamentales
La racine carrée d'un nombre positif a (notée √a) est le nombre positif dont le carré est égal à a. Autrement dit : √a = x si et seulement si x² = a et x ≥ 0.
Exemples : √9 = 3 (car 3² = 9) ; √25 = 5 ; √100 = 10 ; √2 ≈ 1,414.
La racine carrée est définie uniquement pour les nombres positifs ou nuls. √(−4) n'existe pas dans ℝ (elle existe dans ℂ — l'ensemble des nombres complexes — et vaut 2i).
Tableau des racines carrées usuelles
| n | √n (exact) | √n (approx.) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1,000 |
| 2 | √2 | 1,414 |
| 3 | √3 | 1,732 |
| 4 | 2 | 2,000 |
| 5 | √5 | 2,236 |
| 9 | 3 | 3,000 |
| 16 | 4 | 4,000 |
| 25 | 5 | 5,000 |
| 50 | 5√2 | 7,071 |
| 100 | 10 | 10,000 |
Propriétés de calcul avec les racines carrées
Voici les règles fondamentales pour simplifier les expressions contenant des racines carrées :
- Produit : √(a × b) = √a × √b (pour a, b ≥ 0). Ex : √12 = √(4×3) = 2√3
- Quotient : √(a/b) = √a / √b (pour a ≥ 0, b > 0). Ex : √(9/4) = 3/2
- Carré d'une racine : (√a)² = a. Ex : (√7)² = 7
- Racine d'un carré : √(a²) = |a| (valeur absolue). Ex : √(−3)² = √9 = 3 (pas −3 !)
Simplifier une racine carrée
On simplifie une racine en cherchant le plus grand carré parfait qui divise le nombre sous la racine.
Exemple 1 : √72
72 = 36 × 2 → √72 = √(36 × 2) = √36 × √2 = 6√2
Exemple 2 : √180
180 = 4 × 45 = 4 × 9 × 5 = 36 × 5 → √180 = 6√5
Méthode systématique : décomposer en facteurs premiers, puis extraire les paires.
72 = 2³ × 3² = 2¹ × (2² × 3²) → √72 = √(4 × 9 × 2) = 2 × 3 × √2 = 6√2
Rationaliser le dénominateur
En mathématiques, on évite d'avoir une racine carrée au dénominateur d'une fraction. On "rationalise" en multipliant numérateur et dénominateur par la même racine :
1/√3 = (1 × √3) / (√3 × √3) = √3 / 3
Pour un binôme au dénominateur (expression conjuguée) :
1 / (2 + √3) = (2 − √3) / [(2 + √3)(2 − √3)] = (2 − √3) / (4 − 3) = 2 − √3
Calcul d'une valeur approchée sans calculatrice
Pour estimer √n sans calculatrice, on encadre n entre deux carrés parfaits.
Exemple : estimer √47
- 6² = 36 < 47 < 49 = 7² → 6 < √47 < 7
- 47 est plus proche de 49 que de 36 → √47 ≈ 6,8
- Vérification : 6,8² = 46,24 (trop petit) ; 6,9² = 47,61 (un peu grand)
- Affiner : 6,85² = 46,92 ; 6,86² = 47,06 → √47 ≈ 6,86
Erreurs fréquentes avec les racines carrées
Erreur 1 : √(a + b) ≠ √a + √b. Exemple : √(9 + 16) = √25 = 5 ≠ 3 + 4 = 7.
Erreur 2 : √(a²) = a (seulement si a ≥ 0). Si a < 0, √(a²) = −a = |a|.
Erreur 3 : (√a)² ≠ √(a²). (√3)² = 3 mais √(3²) = √9 = 3 — ici même résultat, mais pour des raisons différentes.
Questions fréquentes
Tous les nombres ont-ils une racine carrée réelle ?
Non. Seuls les nombres positifs ou nuls ont une racine carrée dans ℝ. Les nombres négatifs n'ont pas de racine carrée réelle. En revanche, dans l'ensemble des nombres complexes ℂ, tout nombre a deux racines carrées. La racine carrée de −1 est notée i (l'unité imaginaire), et √(−a) = i√a pour a > 0.
√2 est-il un nombre rationnel ou irrationnel ?
√2 est irrationnel — c'est l'un des résultats les plus célèbres des mathématiques grecques, démontré par les Pythagoriciens. Un nombre rationnel s'écrit comme une fraction p/q où p et q sont des entiers. La preuve que √2 ne peut pas s'écrire sous cette forme utilise un argument par l'absurde : si √2 = p/q (fraction irréductible), alors p² = 2q², donc p est pair... et on aboutit à une contradiction.
