Vous avez votre résultat ? Maths Pro génère des exercices corrigés illimités sur ce thème. Fiches PDF par niveau (3e-Terminale).
M'entraîner avec Maths Pro →14,90 € une fois · Sources officielles · Export PDF
Racine cubique : définition, méthodes et applications
La racine cubique d'un nombre x, notée ∛x ou x^(1/3), est le nombre dont le cube vaut x. Contrairement à la racine carrée (définie uniquement pour les réels positifs), la racine cubique existe pour tout réel, y compris les négatifs : ∛(−8) = −2 car (−2)³ = −8. Cette propriété la distingue fondamentalement des racines d'indice pair.
∛x = y ⟺ y³ = x
Règles de calcul :
∛(a × b) = ∛a × ∛b
∛(a / b) = ∛a / ∛b
∛(a^n) = a^(n/3)
(∛a)³ = a
∛(a²) = a^(2/3)
Domaine : ∛x est défini pour tout réel x (positif, négatif ou nul).
Signe : ∛x a le même signe que x.
Table des racines cubiques — cubes parfaits
| n | n³ | ∛(n³) | ∛n (approx.) |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1,000 |
| 2 | 8 | 2 | 1,260 |
| 3 | 27 | 3 | 1,442 |
| 4 | 64 | 4 | 1,587 |
| 5 | 125 | 5 | 1,710 |
| 10 | 1 000 | 10 | 2,154 |
Méthodes de calcul de la racine cubique
Mémorisez les cubes de 1 à 10 : 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000.
∛343 : cherchez n tel que n³ = 343. Essai : 7³ = 343 ✓ Donc ∛343 = 7.
Valable uniquement pour les cubes parfaits — indispensable à mémoriser.
∛(216) : 216 = 2³ × 3³ × 1 = 8 × 27. Donc ∛216 = ∛(2³ × 3³) = 2 × 3 = 6.
∛(1 000) = ∛(10³) = 10. ∛(−125) = ∛(−5³) = −5.
Cette méthode fonctionne bien pour les entiers dont la décomposition est simple.
Calculer ∛20 : on sait que 2³ = 8 et 3³ = 27, donc 2 < ∛20 < 3.
Essai 2,7 : 2,7³ = 19,683 ≈ 19,7. Essai 2,71 : 2,71³ = 19,902. Essai 2,714 : 2,714³ ≈ 19,993.
Résultat : ∛20 ≈ 2,714 (à 0,001 près).
Les 3 erreurs classiques sur la racine cubique
Contrairement à √(−x) qui est un nombre imaginaire, ∛(−x) est toujours réel.
∛(−27) = −3 car (−3)³ = −27. Cette propriété est souvent oubliée et conduit à des erreurs dans les équations du type x³ = −64.
Ces deux expressions sont mathématiquement équivalentes : ∛(x²) = (∛x)² = x^(2/3).
Mais l'erreur fréquente est d'écrire ∛(x²) = x^(1/3 × 2) = x^(2/3) en croyant obtenir quelque chose de différent de (∛x)². Les deux valent bien x^(2/3) — ce n'est pas la même chose que ∛x × ∛x.
Cette règle est FAUSSE. ∛(8 + 27) = ∛35 ≈ 3,27, pas ∛8 + ∛27 = 2 + 3 = 5.
Seule la règle du produit est valable : ∛(a × b) = ∛a × ∛b. L'addition sous le radical ne se distribue pas.
Questions fréquentes
Comment calculer une racine cubique sans calculatrice ?
Pour les cubes parfaits (1, 8, 27, 64, 125...), identifiez directement. Pour les autres, encadrez entre deux cubes parfaits consécutifs, puis affinez par essais successifs. Exemple : ∛50 — entre ∛27=3 et ∛64=4. Essai 3,7 : 3,7³ = 50,65 ; 3,68 : 3,68³ = 49,8. Résultat : ∛50 ≈ 3,684.
Quelle est la différence entre racine carrée et racine cubique ?
Racine carrée : √x, définie uniquement pour x ≥ 0, résultat toujours positif. Racine cubique : ∛x, définie pour tout réel, même résultat négatif si x < 0. Exemple : √4 = 2 (pas −2), ∛(−8) = −2. La racine cubique est l'inverse de la puissance 3 ; la racine carrée l'inverse de la puissance 2.
Comment saisir ∛x sur une calculatrice scientifique ?
Sur la plupart des calculatrices scientifiques : x^(1/3) ou utiliser la touche ∛ (souvent en accès secondaire avec 2nd ou Shift). Sur une Casio fx-991 : tapez x puis [SHIFT][√]. Sur une TI : tapez 3 puis [MATH] > 4:∛(. Sur Excel : =x^(1/3) ou =PUISSANCE(x;1/3). Attention à la notation Python : x**(1/3) pour les réels positifs uniquement (utilisez (-x)**(1/3)*(-1) pour les négatifs).
Peut-on simplifier ∛(40) comme on simplifie une racine carrée ?
Oui. Cherchez un cube parfait qui divise 40 : 40 = 8 × 5, et 8 = 2³. Donc ∛40 = ∛(8 × 5) = ∛8 × ∛5 = 2∛5. C'est la forme "simplifiée" de la racine cubique, analogue à √8 = 2√2 pour la racine carrée.
Où utilise-t-on les racines cubiques en dehors des cours de maths ?
En physique : la loi de Kepler (T² ∝ a³) nécessite le calcul de ∛(T²) pour trouver le demi-grand axe des orbites. En acoustique : l'échelle de fréquences musicales tempérées utilise la racine 12e (analogue). En ingénierie des fluides : formules de débit turbulent en ∛. En finance : calcul du taux d'intérêt mensuel à partir du taux annuel (∛(1+taux annuel) − 1 pour un trimestre).
Qu'est-ce qu'une racine cubique irrationnelle ?
∛n est irrationnel dès que n n'est pas un cube parfait. Par exemple, ∛2 ≈ 1,2599... est irrationnel (sa suite décimale est infinie et non périodique). Seuls les cubes parfaits (1, 8, 27, 64, 125...) ont une racine cubique entière. Tous les autres entiers ont une racine cubique irrationnelle qui ne peut être exprimée exactement qu'avec le symbole ∛.
