Calculer des racines carrees : les fondamentaux
La racine carree d'un nombre a ≥ 0 est le nombre positif x tel que x² = a. Notation : √a. Cette operation est fondamentale dans toute la mathematique : geometrie (theoreme de Pythagore), trigonometrie (formules du cosinus), statistiques (ecart-type), physique (vitesse, force) et calcul numerique. Connaitre les 15 premiers carres parfaits et savoir simplifier les expressions radicales sont des competences exigees depuis la classe de 4eme.
√(a × b) = √a × √b (a, b ≥ 0) — decomposition
√(a / b) = √a / √b (a ≥ 0, b > 0) — quotient
(√a)² = a (a ≥ 0) — propriete fondamentale
√(a²) = |a| (valeur absolue)
a^(1/2) = √a (puissance fractionnaire)
Simplification : √(k² × m) = k × √m (k, m ≥ 0)
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Comment simplifier une racine carree : methode pas a pas
Pour simplifier √n, chercher le plus grand carre parfait qui divise n. Decomposer n = k² × m (m sans facteur carre). Alors √n = k√m. Exemple : √180. Decomposer : 180 = 4 × 45 = 4 × 9 × 5 = 36 × 5. Donc √180 = √36 × √5 = 6√5. Verification : (6√5)² = 36 × 5 = 180. ✓
| Racine | Decomposition | Forme simplifiee | Valeur approx. |
|---|---|---|---|
| √8 | 4 × 2 | 2√2 | 2,828 |
| √12 | 4 × 3 | 2√3 | 3,464 |
| √18 | 9 × 2 | 3√2 | 4,243 |
| √20 | 4 × 5 | 2√5 | 4,472 |
| √45 | 9 × 5 | 3√5 | 6,708 |
| √75 | 25 × 3 | 5√3 | 8,660 |
Exemple 1 — Simplifier √98 :
98 = 2 × 49 = 2 × 7². Donc √98 = √(49 × 2) = 7√2 ≈ 7 × 1,4142 = 9,899.
Exemple 2 — Additionner des racines semblables :
3√2 + 5√2 = (3 + 5)√2 = 8√2 ≈ 11,31. (Comme des termes semblables en algebre.)
3√2 + 4√3 ne peut pas se simplifier davantage (racines differentes).
Exemple 3 — Application geometrique (Pythagore) :
Triangle rectangle avec cotes a = 5 et b = 8. Hypotenuse c = √(25 + 64) = √89 ≈ 9,43.
√89 n'est pas simplifiable (89 est premier).
Erreur 1 — √(a + b) = √a + √b : La propriete de decomposition ne s'applique qu'au produit. √(4 + 9) = √13 ≈ 3,606, pas 2 + 3 = 5. Cette erreur est peut-etre la plus frequente en algebre elementaire. Rappel : √(a × b) = √a × √b (produit), mais √(a + b) ≠ √a + √b (somme).
Erreur 2 — Choisir un mauvais carre parfait lors de la simplification : √72 = √(4 × 18) = 2√18... mais √18 n'est pas en forme reduite (18 = 9 × 2). Le resultat correct est √72 = √(36 × 2) = 6√2. Toujours identifier le PLUS GRAND carre parfait diviseur, pas n'importe lequel.
Erreur 3 — Confondre "forme exacte" et "valeur approchee" : 6√5 est la forme exacte ; 13,416 est une approximation. En geometrie et en algebre, la forme exacte est toujours preferable pour conserver la precision. Ne jamais remplacer √2 par 1,41 dans un calcul intermediaire sans specifier que c'est une approximation.
FAQ — Calculer des racines carrees
Comment additionner ou soustraire des racines carrees ?
On peut seulement additionner des racines "semblables" (meme radicande). 3√5 + 7√5 = 10√5. Pour des radicandes differents, simplifier d'abord : √12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3. Si apres simplification les radicandes sont toujours differents (ex: √2 + √3), l'expression ne se simplifie pas davantage et reste telle quelle.
Qu'est-ce qu'une forme irreduite pour une racine carree ?
Une racine √n est en forme irreduite (ou reduite) quand n ne contient aucun facteur carre autre que 1. Exemples : √2, √3, √5, √6, √7 sont irreduites. √4 = 2 n'est plus une racine. √12 = 2√3 (reducible, 12 = 4 × 3). Une expression du type a√b est en forme reduite si b ne contient pas de carre parfait diviseur.
Comment multiplier deux expressions avec racines carrees ?
Utiliser √a × √b = √(a × b) et les regles de la distributivite. (2√3)(3√5) = 6√15. Pour (√3 + 1)(√3 − 1) : identite remarquable (a + b)(a − b) = a² − b², donc (√3)² − 1² = 3 − 1 = 2. Pour (1 + √2)² = 1 + 2√2 + 2 = 3 + 2√2. Ces developpements sont frequents en 2nde et en geometrie analytique.
Comment prouver qu'un nombre est irrationnel grace aux racines carrees ?
Un nombre est irrationnel s'il ne peut pas s'ecrire p/q avec p, q entiers et PGCD(p,q) = 1. La preuve standard que √2 est irrationnel : supposer √2 = p/q irreductible → 2 = p²/q² → p² = 2q² → p pair (p = 2k) → 4k² = 2q² → q² = 2k² → q pair. Contradiction (p et q ne peuvent pas etre tous deux pairs si la fraction est irreductible).
Quelle est la racine carree de i (le nombre imaginaire) ?
√i = (1 + i)/√2 = (√2/2)(1 + i). Verification : ((1+i)/√2)² = (1 + 2i + i²)/2 = (1 + 2i − 1)/2 = 2i/2 = i ✓. Il y a en fait deux racines carrees de i dans les complexes : (1+i)/√2 et −(1+i)/√2. Cette notion intervient en terminale et en classes preparatoires.
Comment rationaliser une fraction avec une racine carree au denominateur ?
Multiplier par le "conjugue" pour eliminer la racine. Pour 3/√5 : multiplier par √5/√5 → 3√5/5. Pour 2/(√3 + 1) : multiplier par (√3 − 1)/(√3 − 1) → 2(√3 − 1)/((√3)² − 1²) = 2(√3 − 1)/(3 − 1) = (√3 − 1). Cette technique est exigee dans les simplifications d'expressions en 2nde et en 1ere.
