Conversion d'Angles — Degrés ↔ Radians ↔ Grades
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Par Mehdi Kabbaj, mathématicien — Mis à jour mars 2026
- rad = degrés × π/180 | degrés = rad × 180/π
- grades = degrés × 10/9 | 360° = 2π rad = 400 grades
- 1 radian ≈ 57,2958°
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Tableau de conversion des angles courants
| Degrés (°) | Radians (rad) | Radians (fraction π) | Grades |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 0 |
| 30° | 0,5236 | π/6 | 33,33 |
| 45° | 0,7854 | π/4 | 50 |
| 60° | 1,0472 | π/3 | 66,67 |
| 90° | 1,5708 | π/2 | 100 |
| 120° | 2,0944 | 2π/3 | 133,33 |
| 135° | 2,3562 | 3π/4 | 150 |
| 150° | 2,6180 | 5π/6 | 166,67 |
| 180° | 3,1416 | π | 200 |
| 270° | 4,7124 | 3π/2 | 300 |
| 360° | 6,2832 | 2π | 400 |
Valeurs remarquables de trigonométrie
| Angle | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° (π/6) | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45° (π/4) | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° (π/3) | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° (π/2) | 1 | 0 | ∞ |
| 180° (π) | 0 | -1 | 0 |
Pourquoi utiliser les radians ?
Les radians sont l'unité naturelle des mathématiques. La définition géométrique est simple : un radian est l'angle au centre d'un cercle qui soustend un arc de longueur égale au rayon. Ainsi s = r × θ (arc = rayon × angle en radians).
En analyse mathématique, les formules de dérivation sont plus simples : d/dx(sin x) = cos x uniquement si x est en radians. En degrés, il faudrait multiplier par π/180. C'est pourquoi tous les langages de programmation (Python, C++, Java) utilisent les radians dans leurs fonctions trigonométriques.
3 exemples concrets de conversion d'angles
Exemple 1 — Calculatrice en mode RAD vs DEG. Un élève calcule sin(45°) avec sa calculatrice réglée en radians. Il obtient sin(45) = 0,8509 au lieu de 0,7071. En RAD, 45 est interprété comme 45 radians ≈ 2 577°. La bonne démarche : convertir d'abord en radians → 45 × π/180 = 0,7854 rad → sin(0,7854) = 0,7071. C'est l'erreur la plus courante en TP de physique.
Exemple 2 — Vitesse angulaire d'un moteur. Un moteur tourne à 3 000 tr/min. En radians : ω = 3 000 × 2π/60 = 314,16 rad/s. En degrés : 3 000 × 360/60 = 18 000°/s. Pour calculer la vitesse tangentielle d'un point à r = 0,1 m de l'axe : v = ω × r = 314,16 × 0,1 = 31,4 m/s. Le radian est indispensable ici.
Exemple 3 — Topographie et grades. Un géomètre mesure un angle de 47,5 grades entre deux lignes de terrain. Conversion en degrés : 47,5 × 0,9 = 42,75°. En radians : 42,75 × π/180 = 0,7461 rad. Les grades (ou gons) sont encore utilisés dans les instruments topographiques européens (théodolites, niveaux numériques).
3 erreurs fréquentes à éviter
Erreur 1 — Oublier de changer le mode de la calculatrice. Toutes les calculatrices scientifiques ont un mode DEG/RAD/GRAD. La calculatrice Casio FX-92+ affiche "D", "R" ou "G" en haut de l'écran. Pour le lycée, on travaille généralement en degrés sauf indication contraire. En mode RAD, sin(90) ≠ 1 mais sin(90) ≈ 0,894 car 90 radians ≈ 5 156°.
Erreur 2 — Confondre la mesure en DMS (degrés-minutes-secondes) et en décimal. 35°30' ne vaut pas 35,30° mais 35 + 30/60 = 35,5°. Et 35°30'18'' = 35 + 30/60 + 18/3600 = 35,505°. Cette conversion est critique en navigation maritime, en GPS et en astronomie.
Erreur 3 — Utiliser π ≈ 3,14 au lieu de la valeur précise. π ≈ 3,14159265. Pour 180° en radians : 180 × 3,14/180 = 3,14 mais la valeur exacte est π = 3,14159... Le calcul de sin(π) doit donner 0 exactement, mais avec π ≈ 3,14 on obtient sin(3,14) ≈ 0,00159. Pour les calculs numériques, utiliser la touche π de la calculatrice.
Questions fréquentes
Tableau des valeurs remarquables (degrés, radians et trigonométrie)
| Degrés | Radians | Grades | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 gr | 0 | 1 | 0 |
| 30° | π/6 | 33,33 gr | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45° | π/4 | 50 gr | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | 66,67 gr | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | π/2 | 100 gr | 1 | 0 | indéfini |
| 120° | 2π/3 | 133,33 gr | √3/2 | −1/2 | −√3 |
| 180° | π | 200 gr | 0 | −1 | 0 |
| 270° | 3π/2 | 300 gr | −1 | 0 | indéfini |
| 360° | 2π | 400 gr | 0 | 1 | 0 |
Utilisations professionnelles des unités d'angle
Selon les domaines professionnels, l'unité d'angle privilégiée varie. Connaître les équivalences évite les erreurs de calcul coûteuses.
Topographie et géodésie — grades (gon)
Le grade (ou gon) divise le cercle en 400 unités, ce qui facilite le calcul des angles droits (100 gr) et des pentes. Les théodolites utilisés sur les chantiers affichent les mesures en grades. Un angle de pente de 1,5 gr correspond à une déclivité de ≈ 2,6%, utilisé en France pour les routes.
Navigation maritime et aéronautique — degrés décimaux et DMS
Les coordonnées GPS utilisent les degrés décimaux (48,8566° N, 2,3522° E pour Paris). La navigation traditionnelle (et les cartes marines) utilise le format DMS (degrés-minutes-secondes) : 48°51'23,76"N. 1 minute d'arc en latitude = 1 mille nautique = 1,852 km — base du système nautique international.
Ingénierie et mathématiques — radians
Les radians sont l'unité naturelle pour les dérivées trigonométriques (d(sin x)/dx = cos x uniquement en radians), les séries de Taylor, et les fréquences angulaires ω = 2πf. En mécanique, une vitesse angulaire de 100 tr/min = 100×2π/60 ≈ 10,47 rad/s. Les oscilloscopes et les analyses spectrales affichent systématiquement des fréquences en rad/s.
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