Calcul Sinus — sin(angle)

Table etendue des sinus — angles remarquables et valeurs exactes

Definition geometrique et cercle trigonometrique

Dans un triangle rectangle en C, le sinus de l'angle A est :

sin(A) = cote oppose / hypotenuse = BC / AB

Sur le cercle trigonometrique unitaire (rayon = 1), sin(θ) est l'ordonnee (coordonnee y) du point sur le cercle correspondant a l'angle θ. Cette definition etend sin a tous les reels, pas seulement [0°, 90°].

Calcul pratique dans un triangle — 3 exemples

Exemple 1 — Hauteur d'un batiment : Depuis un point a 50m, l'angle d'elevation du sommet est 32°.

tan(32°) = hauteur / 50 → hauteur = 50 × tan(32°) = 50 × 0,6249 ≈ 31,2 m

Verification par le sinus : hypotenuse = 50/cos(32°) ≈ 58,9m. sin(32°) × 58,9 ≈ 31,2m ✓

Exemple 2 — Loi des sinus pour un triangle non rectangle : Triangle ABC, A=42°, B=73°, cote a=15 cm.

C = 180° − 42° − 73° = 65°
b = a × sin(B)/sin(A) = 15 × sin(73°)/sin(42°) = 15 × 0,9563/0,6691 ≈ 21,4 cm
c = 15 × sin(65°)/sin(42°) = 15 × 0,9063/0,6691 ≈ 20,3 cm

Exemple 3 — Composante d'une force : Force de 200 N inclinee a 35° par rapport a l'horizontale.

Composante verticale = F × sin(35°) = 200 × 0,5736 = 114,7 N
Composante horizontale = F × cos(35°) = 200 × 0,8192 = 163,8 N

Identites trigonometriques fondamentales

Loi des sinus et formule de l'aire

Loi des sinus : a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R
Aire du triangle : S = (1/2) × a × b × sin(C)

ou R est le rayon du cercle circonscrit. La loi des sinus est valide pour tout triangle (rectangle ou non). Elle permet de resoudre un triangle connaissant 2 angles + 1 cote ou 2 cotes + l'angle oppose a l'un d'eux (cas ambigu).

Applications physiques et ingenieirie

La fonction sinus modelise tous les phenomenes periodiques :

• Courant alternatif : i(t) = I₀ × sin(ωt + φ), ou ω = 2πf est la pulsation (rad/s) et φ le dephasage. En France : f=50Hz, ω≈314 rad/s.
• Acoustique : Pression sonore p(t) = P₀ × sin(2πft). La note La4 = 440 Hz.
• Navigation et GPS : Formule de Haversine pour la distance entre deux points GPS — utilise sin² de la demi-difference de latitude/longitude.
• Mecanique des structures : Decomposition des forces en composantes — sin pour la composante perpendiculaire, cos pour la parallele.
• Optique : Loi de Snell-Descartes : n₁ × sin(θ₁) = n₂ × sin(θ₂) — refraction de la lumiere a l'interface de deux milieux.

Trigonométrie avancée — séries et transformée de Fourier

Développement en série de Taylor du sinus

La fonction sinus est représentable par une série infinie de polynômes (série de Taylor autour de x=0) :

sin(x) = x − x³/3! + x⁵/5! − x⁷/7! + ... = Σ (−1)ⁿ × x^(2n+1) / (2n+1)!

Pour x petit (en radians), l'approximation sin(x) ≈ x est excellente : sin(0,1 rad) = 0,09983, approximation = 0,1 (erreur 0,17%). Cette linéarisation est utilisée en physique pour les petits angles — pendule simple (période T = 2π√(L/g) valable pour θ < 15°), optique géométrique paraxiale.

Transformée de Fourier — décomposition en sinusoïdes

Tout signal périodique f(t) peut être décomposé en somme de sinusoïdes (théorème de Fourier) : f(t) = A₀ + Σ Aₙ×cos(nωt) + Bₙ×sin(nωt). C'est le fondement du traitement du signal numérique (MP3, JPEG, WiFi). Exemple : un signal carré de fréquence f est approximé par sin(2πft) + (1/3)sin(6πft) + (1/5)sin(10πft) + ... La qualité audio MP3 exploite le fait que l'oreille humaine est moins sensible aux hautes fréquences — supprimer les harmoniques au-delà de 16 kHz réduit le fichier de 90% avec une perte perceptible minimale.

Formules trigonométriques complémentaires

Angle de portée maximale d'un projectile

En balistique et sports de lancer, la distance horizontale parcourue par un projectile lancé avec un angle θ et une vitesse initiale v₀ (en l'absence de résistance de l'air) est R = v₀² × sin(2θ) / g. La distance est maximale quand sin(2θ) = 1, c'est-à-dire 2θ = 90°, donc θ = 45°. Pour v₀ = 20 m/s et g = 9,81 m/s² : R_max = 400/9,81 ≈ 40,8 m. Un lancer de marteau à 45° avec v₀=28 m/s : R = 784/9,81 ≈ 79,9 m (record mondial = 86,74 m — la résistance de l'air et la hauteur de lancer modifient l'angle optimal vers 40-42°).

4 erreurs courantes avec la fonction sinus

• Calculer sin en degrés quand la calculatrice est en radians : sin(30) en radians ≈ −0,988, pas 0,5. Toujours verifier le mode DEG/RAD. Sur calculatrice : MODE → DEG pour les problemes courants.
• Confondre sin(A+B) = sin(A) + sin(B) : Completement faux. sin(60°) ≠ sin(30°) + sin(30°). La formule correcte : sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b).
• Cas ambigu de la loi des sinus : Avec 2 cotes et un angle non compris (SSA), il peut y avoir 0, 1 ou 2 triangles solutions. Verifier que sin(angle cherche) ≤ 1 et tester les deux cas.
• Negliger l'angle supplementaire : sin(θ) = sin(180°−θ). Quand arcsin donne θ, l'angle 180°−θ est aussi une solution possible. Toujours verifier le contexte geometrique.

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Pour les fonctions trigonométriques, la calculatrice Casio FX-92 est la référence au collège et lycée.

Calculatrices liées

Auteur : Mehdi Kabbaj, ingénieur — Sources : formules mathématiques standard 2026