Méthodes de résolution d'un système linéaire
Un système de deux équations à deux inconnues a×x + b×y = c peut être résolu par trois méthodes équivalentes : la substitution (exprimer y en fonction de x dans une équation et substituer dans l'autre), la combinaison linéaire (addition des équations multipliées par des coefficients), et la règle de Cramer (déterminants).
Règle de Cramer pour le système 2×2
Pour le système a₁x + b₁y = c₁ / a₂x + b₂y = c₂, le déterminant est Δ = a₁b₂ - a₂b₁. Les solutions sont : x = (c₁b₂ - c₂b₁)/Δ et y = (a₁c₂ - a₂c₁)/Δ. Si Δ = 0, le système est soit incompatible (aucune solution) soit indéterminé (infinité de solutions).
Vous avez votre résultat ? Maths Pro génère des exercices corrigés illimités sur ce thème. Fiches PDF par niveau (3e-Terminale).
M'entraîner avec Maths Pro →14,90 € une fois · Sources officielles · Export PDF
Interprétation géométrique
Chaque équation linéaire à deux inconnues représente une droite dans le plan. Résoudre le système revient à trouver l'intersection de deux droites : solution unique si les droites se croisent (Δ ≠ 0), aucune solution si elles sont parallèles non confondues (Δ=0, droites différentes), infinité si elles sont confondues (Δ=0, même droite).
Méthode de Gauss-Jordan pour les grands systèmes
Pour les systèmes de n équations à n inconnues (n≥3), la méthode d'élimination de Gauss-Jordan est la plus efficace algorithmiquement : O(n³). Elle transforme la matrice augmentée [A|b] en forme échelonnée réduite par opérations élémentaires sur les lignes. C'est la base des solveurs numériques (MATLAB, NumPy, Julia).
3 exemples concrets
Exemple 1 — Mélange de solutions. Un chimiste mélange deux solutions : 30 % et 70 % de sel. Il veut 100 mL à 50 %. Système : x + y = 100 et 0,3x + 0,7y = 50. Δ = 1×0,7 − 1×0,3 = 0,4. x = (100×0,7 − 50×1)/0,4 = (70−50)/0,4 = 50 mL. y = 50 mL. Solution : 50 mL de chaque.
Exemple 2 — Prix billet de cinéma. 3 adultes et 2 enfants paient 38 €. 1 adulte et 4 enfants paient 24 €. Système : 3a + 2e = 38 et a + 4e = 24. Δ = 3×4 − 1×2 = 10. a = (38×4 − 24×2)/10 = (152−48)/10 = 10,40 €. e = (3×24 − 1×38)/10 = (72−38)/10 = 3,40 €.
Exemple 3 — Courant électrique (loi de Kirchhoff). Circuit avec deux mailles : I₁ + I₂ = 5 A (nœud) et 2I₁ − 3I₂ = 1 V (différence de tension). Δ = 1×(−3) − 1×2 = −5. I₁ = (5×(−3) − 1×1)/(−5) = (−15−1)/(−5) = 3,2 A. I₂ = (1×1 − 2×5)/(−5) = (1−10)/(−5) = 1,8 A.
3 erreurs fréquentes
Erreur 1 — Signe du déterminant. Le calcul de Δ = a₁b₂ − a₂b₁ suit un ordre précis : produit croisé (termes diagonaux principaux moins termes diagonaux secondaires). Inverser l'ordre donne −Δ et inverse les signes de x et y. Notez les matrices soigneusement avant de calculer.
Erreur 2 — Penser que Δ = 0 signifie "pas de solution". Δ = 0 signifie soit aucune solution (droites parallèles) soit une infinité (droites confondues). Pour distinguer les deux cas, vérifiez si les équations sont proportionnelles : si c₁/c₂ = a₁/a₂ = b₁/b₂, le système est indéterminé (infinité) ; sinon, il est incompatible.
Erreur 3 — Oublier de vérifier la solution. Substituez toujours x et y trouvés dans les deux équations originales. Une erreur d'arithmétique peut produire des valeurs qui vérifient une équation mais pas l'autre. La vérification prend 10 secondes et évite de rendre un résultat faux.
Tableau — Résumé des cas selon le déterminant
| Situation | Δ | Nb de solutions | Géométrie |
|---|---|---|---|
| Système compatible déterminé | ≠ 0 | 1 unique | Droites sécantes |
| Système incompatible | = 0 | 0 | Droites parallèles |
| Système indéterminé | = 0 | ∞ | Droites confondues |
| Système 3×3 avec rang < 3 | = 0 | 0 ou ∞ | Plans parallèles ou confondus |
