Fraction: simplifier et convertir

📖 Comprendre les fractions

Une fraction représente une partie d'un tout. Elle s'écrit sous la forme a/b où a est le numérateur (ce qu'on prend) et b est le dénominateur (en combien de parts on divise).

Par exemple, 3/4 signifie qu'on prend 3 parts sur un total de 4 parts égales. C'est équivalent à 0,75 en décimal ou 75% en pourcentage.

Types de fractions

• Fraction propre : numérateur < dénominateur (ex: 2/5). Valeur inférieure à 1.
• Fraction impropre : numérateur ≥ dénominateur (ex: 7/4). Valeur supérieure ou égale à 1.
• Nombre mixte : entier + fraction propre (ex: 1 3/4 = 7/4).
• Fraction irréductible : numérateur et dénominateur n'ont pas de diviseur commun autre que 1.

🔢 Simplifier une fraction

Simplifier une fraction consiste à la réduire à sa forme irréductible en divisant le numérateur et le dénominateur par leur PGCD (Plus Grand Commun Diviseur).

Méthode pas à pas

1. Trouver le PGCD de a et b
2. Diviser a par le PGCD → nouveau numérateur
3. Diviser b par le PGCD → nouveau dénominateur

Exemple : simplifier 42/56

PGCD(42, 56) = 14. Donc 42/56 = (42÷14)/(56÷14) = 3/4

Trouver le PGCD

Utilisez l'algorithme d'Euclide : divisez le plus grand par le plus petit, puis répétez avec le reste jusqu'à obtenir 0. Le dernier diviseur non nul est le PGCD.

Exemple : PGCD(42, 56) → 56 = 42×1 + 14 → 42 = 14×3 + 0 → PGCD = 14

📊 Tableau des fractions courantes

➕ Opérations sur les fractions

Addition et soustraction

Pour additionner ou soustraire des fractions, il faut d'abord les mettre au même dénominateur (dénominateur commun).

Formule : a/b + c/d = (a×d + c×b) / (b×d)

Exemple : 1/4 + 2/3 = (1×3 + 2×4) / (4×3) = (3 + 8) / 12 = 11/12

Multiplication

On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

Formule : a/b × c/d = (a×c) / (b×d)

Exemple : 2/3 × 4/5 = 8/15

Division

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.

Formule : a/b ÷ c/d = a/b × d/c = (a×d) / (b×c)

Exemple : 3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2 = 15/8

🔧 Applications pratiques

Cuisine et recettes

Les recettes utilisent souvent des fractions : 1/2 tasse de farine, 3/4 cuillère de sel. Pour doubler une recette avec 2/3 tasse de sucre : 2/3 × 2 = 4/3 = 1 1/3 tasse.

Bricolage et mesures

Les outils anglo-saxons utilisent des fractions de pouce : 1/4", 3/8", 1/2", 5/8", 3/4". Une clé de 3/8" est plus petite qu'une clé de 1/2" (car 3/8 = 0,375 < 0,5).

Finance et pourcentages

Les taux d'intérêt s'expriment parfois en fractions : un taux de 1/4 point = 0,25%. Une remise de 1/3 = 33,33% de réduction.

Probabilités

Les probabilités s'expriment naturellement en fractions : la probabilité de tirer un as dans un jeu de 52 cartes est 4/52 = 1/13 ≈ 7,7%.

⚠️ Erreurs courantes à éviter

• Additionner numérateurs et dénominateurs : 1/2 + 1/3 ≠ 2/5. Il faut un dénominateur commun : 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6.
• Oublier de simplifier : 6/8 doit être simplifié en 3/4 pour être irréductible.
• Confondre fraction et division : 3/4 est une fraction, mais aussi le résultat de 3 ÷ 4 = 0,75.
• Inverser numérateur et dénominateur : 3/4 ≠ 4/3. Le premier vaut 0,75, le second 1,33.
• Dénominateur nul : une fraction avec dénominateur 0 n'existe pas (division par zéro impossible).

📐 Fractions et nombres décimaux

Toute fraction peut être convertie en décimal en divisant le numérateur par le dénominateur. Certaines donnent des décimaux finis (1/4 = 0,25), d'autres des décimaux périodiques (1/3 = 0,333...).

Décimaux finis

Une fraction donne un décimal fini si son dénominateur (après simplification) n'a que des facteurs 2 et 5. Exemples : 1/2, 1/4, 1/5, 1/8, 1/10, 1/20, 1/25

Décimaux périodiques

Si le dénominateur contient d'autres facteurs premiers (3, 7, 11...), le décimal est périodique. Exemples : 1/3 = 0,333..., 1/7 = 0,142857142857..., 1/11 = 0,090909

Convertir un décimal en fraction

Pour 0,75 : c'est 75/100 = 3/4. Pour 0,333... : c'est 1/3. Pour 0,125 : c'est 125/1000 = 1/8.