Règle de Trois — Produit en Croix et Proportionnalité
⚠️ En bref
Qu'est-ce que la règle de trois ? C'est une méthode mathématique pour résoudre des problèmes de proportionnalité.
Formule : Si A correspond à B, alors C correspond à X = (C × B) / A
Autre nom : Produit en croix
Exemple : Si 3 kg coûtent 12 €, combien coûtent 5 kg ? → X = (5 × 12) / 3 = 20 €
📐 Sommaire
📐 Principe de la Règle de Trois
La règle de trois (ou produit en croix) est une méthode pour résoudre des problèmes de proportionnalité.
Qu'est-ce que la proportionnalité ?
Deux grandeurs sont proportionnelles si le rapport entre elles reste constant.
Exemple : Le prix des pommes est proportionnel au poids :
- 2 kg → 8 € (rapport : 8/2 = 4)
- 3 kg → 12 € (rapport : 12/3 = 4)
- 5 kg → 20 € (rapport : 20/5 = 4)
Le rapport est constant (4 €/kg) → les grandeurs sont proportionnelles.
Représentation visuelle
A est à B ce que C est à X A ──→ B C ──→ X Formule : X = (C × B) / A
📐 Formule et Méthode
Formule de base
X = (C × B) / A
Méthode étape par étape
- Identifier les 3 valeurs connues : A, B, C
- Identifier l'inconnue : X
- Poser la proportion : A est à B ce que C est à X
- Appliquer la formule : X = (C × B) / A
- Calculer : Effectuer les opérations
- Vérifier : A/B = C/X
Exemple détaillé
Problème : Si 3 kg de pommes coûtent 12 €, combien coûtent 5 kg ?
- A = 3 kg (première quantité)
- B = 12 € (premier prix)
- C = 5 kg (deuxième quantité)
- X = ? € (deuxième prix à trouver)
Calcul : X = (5 × 12) / 3 = 60 / 3 = 20 €
Vérification : 3/12 = 5/20 → 0,25 = 0,25 ✓
Produit en croix
On peut aussi écrire : A/B = C/X
En multipliant en croix : A × X = B × C
D'où : X = (B × C) / A
📐 Exemples Concrets
Exemple 1 : Recette de cuisine
Problème : Une recette pour 4 personnes nécessite 200 g de farine. Combien pour 6 personnes ?
Solution : X = (6 × 200) / 4 = 1 200 / 4 = 300 g
Exemple 2 : Prix au poids
Problème : 2,5 kg de viande coûtent 35 €. Quel est le prix de 1,8 kg ?
Solution : X = (1,8 × 35) / 2,5 = 63 / 2,5 = 25,20 €
Exemple 3 : Vitesse et distance
Problème : En 2 h, une voiture parcourt 180 km. Quelle distance en 3 h (à vitesse constante) ?
Solution : X = (3 × 180) / 2 = 540 / 2 = 270 km
Exemple 4 : Conversion d'unités
Problème : Si 1 pouce = 2,54 cm, combien font 15 pouces en cm ?
Solution : X = (15 × 2,54) / 1 = 38,1 cm
Exemple 5 : Échelle et plan
Problème : Sur un plan à l'échelle 1/100, une pièce mesure 8 cm. Quelle est la taille réelle ?
Solution : X = (8 × 100) / 1 = 800 cm = 8 m
📐 Applications Pratiques
1. Cuisine et recettes
Adapter les quantités d'ingrédients selon le nombre de personnes.
Exemple : Recette pour 4 → adapter pour 7 personnes
2. Commerce et achats
Calculer le prix pour une quantité différente.
Exemple : 3 articles pour 15 € → prix de 8 articles ?
3. Vitesse, distance, temps
Calculer l'une des trois grandeurs connaissant les deux autres.
Exemple : 120 km en 1h30 → distance en 2h15 ?
4. Conversions d'unités
Convertir entre différentes unités de mesure.
Exemple : Miles en kilomètres, livres en kilogrammes
5. Pourcentages
Calculer des pourcentages avec la règle de trois.
Exemple : Si 100 = 100 %, alors 75 = X % → X = 75 %
6. Échelles et plans
Passer des dimensions sur plan aux dimensions réelles.
Exemple : Échelle 1:50, mesure plan 12 cm → réel ?
⚠️ Erreurs à Éviter
⌠Erreur 1 : Inverser les valeurs
FAUX : 3 kg → 12 €, 5 kg → ? → X = (3 × 12) / 5 = 7,20 €
VRAI : X = (5 × 12) / 3 = 20 €
Astuce : Vérifiez la cohérence : plus de kg = plus d'€
⌠Erreur 2 : Utiliser sur des grandeurs non proportionnelles
Exemple FAUX : Temps de cuisson
1 poulet cuit en 1h → 2 poulets ne cuisent PAS en 2h (même temps !)
Règle : Vérifiez toujours la proportionnalité avant d'appliquer
⌠Erreur 3 : Oublier les unités
Problème : Mélanger kg et g, heures et minutes
Solution : Convertir toutes les valeurs dans la même unité avant de calculer
✅ Méthode de vérification
Après calcul, vérifiez : A/B = C/X
Les deux rapports doivent être égaux.
❓ Questions Fréquentes
Comment faire une règle de 3 ?
Identifiez les 3 valeurs connues (A, B, C) et l'inconnue (X). Posez la proportion : A est à B ce que C est à X. Appliquez la formule : X = (C × B) / A. Exemple : si 3 kg coûtent 12 €, combien coûtent 5 kg ? X = (5 × 12) / 3 = 20 €.
Quelle est la formule de la règle de trois ?
La formule est : X = (C × B) / A, où A et B sont les deux premières valeurs liées, C est la troisième valeur connue, et X est l'inconnue. On peut aussi l'écrire : A/B = C/X, d'où X = (C × B) / A (produit en croix).
Comment calculer une proportion avec la règle de trois ?
Vérifiez que les grandeurs sont proportionnelles. Posez l'égalité des rapports : A/B = C/X. Multipliez en croix : A × X = B × C. Isolez X : X = (B × C) / A. Exemple : 2 L pour 8 personnes, combien pour 12 personnes ? X = (12 × 2) / 8 = 3 L.
Quand utiliser la règle de trois ?
Utilisez-la quand deux grandeurs sont proportionnelles : recettes (adapter quantités), achats (calculer prix), vitesse (distance/temps), conversions d'unités, pourcentages, échelles. Ne l'utilisez PAS si les grandeurs ne sont pas proportionnelles (ex : temps de cuisson).
Comment vérifier si deux grandeurs sont proportionnelles ?
Divisez chaque valeur de la première grandeur par la valeur correspondante de la seconde. Si tous les rapports sont égaux, les grandeurs sont proportionnelles. Exemple : 2 kg → 8 €, 3 kg → 12 € → 8/2 = 4 et 12/3 = 4 → proportionnelles ✓
📐 Ressources Complémentaires
- Calculateur de Pourcentage — Calculs de pourcentages
- Guide : Pourcentage Inversé — Retrouver la valeur initiale
- Guide : Pourcentage Excel — Formules Excel