Règle de Trois — Produit en Croix et Proportionnalité

⚡ En bref

Qu'est-ce que la règle de trois ? C'est une méthode mathématique pour résoudre des problèmes de proportionnalité.

Formule : Si A correspond à B, alors C correspond à X = (C × B) / A

Autre nom : Produit en croix

Exemple : Si 3 kg coûtent 12 €, combien coûtent 5 kg ? → X = (5 × 12) / 3 = 20 €

📋 Sommaire

  1. Principe de la Règle de Trois
  2. Formule et Méthode
  3. Exemples Concrets
  4. Applications Pratiques
  5. Erreurs à Éviter
  6. Questions Fréquentes

🎯 Principe de la Règle de Trois

La règle de trois (ou produit en croix) est une méthode pour résoudre des problèmes de proportionnalité.

Qu'est-ce que la proportionnalité ?

Deux grandeurs sont proportionnelles si le rapport entre elles reste constant.

Exemple : Le prix des pommes est proportionnel au poids :

  • 2 kg → 8 € (rapport : 8/2 = 4)
  • 3 kg → 12 € (rapport : 12/3 = 4)
  • 5 kg → 20 € (rapport : 20/5 = 4)

Le rapport est constant (4 €/kg) → les grandeurs sont proportionnelles.

Représentation visuelle

 A est à B
 ce que
 C est à X

 A ──→ B
 C ──→ X

 Formule : X = (C × B) / A

📐 Formule et Méthode

Formule de base

X = (C × B) / A

Méthode étape par étape

  1. Identifier les 3 valeurs connues : A, B, C
  2. Identifier l'inconnue : X
  3. Poser la proportion : A est à B ce que C est à X
  4. Appliquer la formule : X = (C × B) / A
  5. Calculer : Effectuer les opérations
  6. Vérifier : A/B = C/X

Exemple détaillé

Problème : Si 3 kg de pommes coûtent 12 €, combien coûtent 5 kg ?

  • A = 3 kg (première quantité)
  • B = 12 € (premier prix)
  • C = 5 kg (deuxième quantité)
  • X = ? € (deuxième prix à trouver)

Calcul : X = (5 × 12) / 3 = 60 / 3 = 20 €

Vérification : 3/12 = 5/20 → 0,25 = 0,25 ✓

Produit en croix

On peut aussi écrire : A/B = C/X

En multipliant en croix : A × X = B × C

D'où : X = (B × C) / A

💡 Exemples Concrets

Exemple 1 : Recette de cuisine

Problème : Une recette pour 4 personnes nécessite 200 g de farine. Combien pour 6 personnes ?

Solution : X = (6 × 200) / 4 = 1 200 / 4 = 300 g

Exemple 2 : Prix au poids

Problème : 2,5 kg de viande coûtent 35 €. Quel est le prix de 1,8 kg ?

Solution : X = (1,8 × 35) / 2,5 = 63 / 2,5 = 25,20 €

Exemple 3 : Vitesse et distance

Problème : En 2 h, une voiture parcourt 180 km. Quelle distance en 3 h (à vitesse constante) ?

Solution : X = (3 × 180) / 2 = 540 / 2 = 270 km

Exemple 4 : Conversion d'unités

Problème : Si 1 pouce = 2,54 cm, combien font 15 pouces en cm ?

Solution : X = (15 × 2,54) / 1 = 38,1 cm

Exemple 5 : Échelle et plan

Problème : Sur un plan à l'échelle 1/100, une pièce mesure 8 cm. Quelle est la taille réelle ?

Solution : X = (8 × 100) / 1 = 800 cm = 8 m

🔧 Applications Pratiques

1. Cuisine et recettes

Adapter les quantités d'ingrédients selon le nombre de personnes.

Exemple : Recette pour 4 → adapter pour 7 personnes

2. Commerce et achats

Calculer le prix pour une quantité différente.

Exemple : 3 articles pour 15 € → prix de 8 articles ?

3. Vitesse, distance, temps

Calculer l'une des trois grandeurs connaissant les deux autres.

Exemple : 120 km en 1h30 → distance en 2h15 ?

4. Conversions d'unités

Convertir entre différentes unités de mesure.

Exemple : Miles en kilomètres, livres en kilogrammes

5. Pourcentages

Calculer des pourcentages avec la règle de trois.

Exemple : Si 100 = 100 %, alors 75 = X % → X = 75 %

6. Échelles et plans

Passer des dimensions sur plan aux dimensions réelles.

Exemple : Échelle 1:50, mesure plan 12 cm → réel ?

⚠️ Erreurs à Éviter

❌ Erreur 1 : Inverser les valeurs

FAUX : 3 kg → 12 €, 5 kg → ? → X = (3 × 12) / 5 = 7,20 €

VRAI : X = (5 × 12) / 3 = 20 €

Astuce : Vérifiez la cohérence : plus de kg = plus d'€

❌ Erreur 2 : Utiliser sur des grandeurs non proportionnelles

Exemple FAUX : Temps de cuisson

1 poulet cuit en 1h → 2 poulets ne cuisent PAS en 2h (même temps !)

Règle : Vérifiez toujours la proportionnalité avant d'appliquer

❌ Erreur 3 : Oublier les unités

Problème : Mélanger kg et g, heures et minutes

Solution : Convertir toutes les valeurs dans la même unité avant de calculer

✅ Méthode de vérification

Après calcul, vérifiez : A/B = C/X

Les deux rapports doivent être égaux.

❓ Questions Fréquentes

Comment faire une règle de 3 ?

Identifiez les 3 valeurs connues (A, B, C) et l'inconnue (X). Posez la proportion : A est à B ce que C est à X. Appliquez la formule : X = (C × B) / A. Exemple : si 3 kg coûtent 12 €, combien coûtent 5 kg ? X = (5 × 12) / 3 = 20 €.

Quelle est la formule de la règle de trois ?

La formule est : X = (C × B) / A, où A et B sont les deux premières valeurs liées, C est la troisième valeur connue, et X est l'inconnue. On peut aussi l'écrire : A/B = C/X, d'où X = (C × B) / A (produit en croix).

Comment calculer une proportion avec la règle de trois ?

Vérifiez que les grandeurs sont proportionnelles. Posez l'égalité des rapports : A/B = C/X. Multipliez en croix : A × X = B × C. Isolez X : X = (B × C) / A. Exemple : 2 L pour 8 personnes, combien pour 12 personnes ? X = (12 × 2) / 8 = 3 L.

Quand utiliser la règle de trois ?

Utilisez-la quand deux grandeurs sont proportionnelles : recettes (adapter quantités), achats (calculer prix), vitesse (distance/temps), conversions d'unités, pourcentages, échelles. Ne l'utilisez PAS si les grandeurs ne sont pas proportionnelles (ex : temps de cuisson).

Comment vérifier si deux grandeurs sont proportionnelles ?

Divisez chaque valeur de la première grandeur par la valeur correspondante de la seconde. Si tous les rapports sont égaux, les grandeurs sont proportionnelles. Exemple : 2 kg → 8 €, 3 kg → 12 € → 8/2 = 4 et 12/3 = 4 → proportionnelles ✓

🔗 Ressources Complémentaires