Aire d'un disque vs aire d'un cercle : y a-t-il une différence ? Version 1
En géométrie, les termes cercle et disque sont souvent utilisés de manière interchangeable dans le langage courant, mais ils désignent des concepts distincts. Pourtant, leur aire se calcule avec la même formule πr². Cet article clarifie la différence entre cercle (ligne) et disque (surface), et explique pourquoi on parle d'aire d'un disque plutôt que d'aire d'un cercle.
1. Définitions : cercle vs disque
Cercle (ligne)
Un cercle est une ligne courbe fermée dont tous les points sont à égale distance d'un point central (le centre). Cette distance est le rayon (r).
- Dimension : 1D (ligne)
- Propriété : Ensemble des points à distance r du centre
- Mesure : Circonférence (périmètre) = 2πr
Disque (surface)
Un disque est la surface plane délimitée par un cercle. Il inclut tous les points à l'intérieur du cercle, y compris le cercle lui-même (bord).
- Dimension : 2D (surface)
- Propriété : Ensemble des points à distance ≤ r du centre
- Mesure : Aire = πr²
⚡ En résumé
Le cercle est le contour (ligne), le disque est la surface intérieure (y compris le contour).
2. Aire : pourquoi parle-t-on d'aire d'un disque ?
Mathématiquement, l'aire est une mesure de surface (2D). Or, un cercle est une ligne (1D) : il n'a donc pas d'aire au sens strict.
Lorsqu'on dit « aire d'un cercle », on fait un abus de langage pour désigner l'aire du disque délimité par ce cercle.
| Terme | Dimension | Mesure |
|---|---|---|
| Cercle | 1D (ligne) | Circonférence (2πr) |
| Disque | 2D (surface) | Aire (πr²) |
💡 Conseil
En pratique, « aire d'un cercle » et « aire d'un disque » désignent la même chose : la surface intérieure calculée avec πr². Le terme rigoureux est aire d'un disque.
3. Formule πr² : identique pour les deux
Que vous disiez « aire d'un cercle » ou « aire d'un disque », la formule est la même :
A = π × r²
Où :
- A : aire (en m², cm², etc.)
- π : constante ≈ 3,14159
- r : rayon (distance du centre au bord)
Exemple : Rayon r = 4 m
A = 3,14159 × 4² = 3,14159 × 16 = 50,27 m²
4. Exemples concrets
Exemple 1 : Pizza (disque)
Une pizza est un disque (surface plane circulaire). Si son rayon est 15 cm :
Aire = π × 15² = 706,86 cm²
On mesure la surface de pâte, pas seulement le bord (cercle).
Exemple 2 : Cerceau (cercle)
Un cerceau est un cercle (ligne courbe). Si son rayon est 50 cm, on mesure sa circonférence :
Circonférence = 2 × π × 50 = 314,16 cm
Le cerceau n'a pas d'aire (c'est une ligne, pas une surface).
Exemple 3 : Jardin circulaire (disque)
Un jardin circulaire de rayon 5 m est un disque. Pour calculer la quantité de gazon :
Aire = π × 5² = 78,54 m²
5. Usage courant et abus de langage
Dans la vie quotidienne et même en mathématiques appliquées, on dit souvent « aire d'un cercle » par commodité. Cet abus de langage est accepté car le contexte est clair : on parle de la surface intérieure.
Exemples d'usage courant :
- « Calculer l'aire d'un cercle de rayon 3 m » → on comprend « aire du disque »
- « Surface d'un cercle » → idem, on parle du disque
- « Périmètre d'un cercle » → ici, on parle bien de la circonférence (ligne)
⚠️ Attention
En géométrie rigoureuse, distinguez bien : le cercle est le bord (1D), le disque est la surface (2D). Mais en pratique, « aire d'un cercle » = « aire d'un disque ».
6. FAQ – Questions fréquentes
Quelle est la différence entre cercle et disque ?
Le cercle est la ligne courbe (contour, 1D). Le disque est la surface plane délimitée par le cercle (intérieur + contour, 2D).
Un cercle a-t-il une aire ?
Non, strictement parlant. Un cercle est une ligne (1D), donc il a une circonférence (2πr), pas une aire. L'aire concerne le disque (2D).
Pourquoi dit-on « aire d'un cercle » alors ?
C'est un abus de langage courant. On comprend « aire du disque délimité par ce cercle ». En pratique, les deux expressions désignent la même chose : πr².
La formule πr² s'applique-t-elle aux deux ?
Oui, car « aire d'un cercle » signifie implicitement « aire du disque ». La formule est A = π × r² dans les deux cas.
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