Aire de secteur circulaire et segment de cercle (formules, cas d'usage) Version 2
Un secteur circulaire (ou secteur angulaire) est une portion de disque délimitée par deux rayons et un arc. Un segment circulaire est la portion entre un arc et une corde. Ces formes apparaissent dans de nombreux contextes : pizza, jardin, graphiques, architecture. Ce guide présente les formules d'aire, les différences et des exemples concrets.
1. Définitions : secteur vs segment
Secteur circulaire
Un secteur circulaire est une portion de disque délimitée par :
- Deux rayons (partant du centre)
- Un arc (portion de circonférence)
Analogie : Une part de pizza (avec la pointe au centre).
Segment circulaire
Un segment circulaire est une portion de disque délimitée par :
- Un arc (portion de circonférence)
- Une corde (ligne droite reliant les extrémités de l'arc)
Analogie : Une part de pizza sans la pointe (croûte uniquement).
⚡ En résumé
Secteur = arc + 2 rayons (part de pizza complète). Segment = arc + corde (croûte de pizza).
2. Aire d'un secteur circulaire
L'aire d'un secteur dépend de l'angle (θ, thêta) et du rayon (r).
Formule (angle en degrés)
A = (θ / 360) × π × r²
Où :
- θ : angle du secteur (en degrés, 0° à 360°)
- r : rayon du cercle
Formule (angle en radians)
A = (θ / 2) × r²
Où θ est en radians (1 tour = 2π radians).
Exemple
Données : Rayon r = 10 cm, angle θ = 60°
A = (60 / 360) × π × 10² = (1/6) × 3,14159 × 100 = 52,36 cm²
3. Aire d'un segment circulaire
L'aire d'un segment se calcule en soustrayant l'aire du triangle (formé par les 2 rayons et la corde) de l'aire du secteur.
Formule
Asegment = Asecteur - Atriangle
Détail :
- Calculez l'aire du secteur :
Asecteur = (θ / 360) × π × r² - Calculez l'aire du triangle :
Atriangle = (1/2) × r² × sin(θ)(θ en degrés, convertir en radians pour sin) - Soustrayez :
Asegment = Asecteur - Atriangle
Formule simplifiée (angle en radians)
Asegment = (r² / 2) × (θ - sin(θ))
Exemple
Données : Rayon r = 10 cm, angle θ = 60° (= π/3 radians ≈ 1,047 rad)
- Secteur : Asecteur = (60/360) × π × 100 = 52,36 cm²
- Triangle : Atriangle = (1/2) × 100 × sin(60°) = 50 × 0,866 = 43,30 cm²
- Segment : Asegment = 52,36 - 43,30 = 9,06 cm²
4. Exemples concrets
Exemple 1 : Part de pizza (secteur)
Une pizza de rayon 20 cm est coupée en 8 parts égales. Quelle est l'aire d'une part ?
Angle : θ = 360° / 8 = 45°
A = (45 / 360) × π × 20² = (1/8) × 3,14159 × 400 = 157,08 cm²
Exemple 2 : Jardin en arc (segment)
Un jardin a la forme d'un segment circulaire : rayon 5 m, angle 90°.
- Secteur : Asecteur = (90/360) × π × 25 = 19,63 m²
- Triangle : Atriangle = (1/2) × 25 × sin(90°) = 12,5 m²
- Segment : Asegment = 19,63 - 12,5 = 7,13 m²
Exemple 3 : Graphique camembert (secteur)
Un graphique circulaire représente 25% d'une catégorie. Rayon = 8 cm.
Angle : θ = 25% × 360° = 90°
A = (90 / 360) × π × 64 = 50,27 cm²
5. Cas d'usage réels
Architecture & design
- Arcs de cercle : fenêtres, portes, voûtes
- Escaliers circulaires : calcul de surface des marches
- Terrasses en arc : quantité de dalles/gravier
Jardinage & aménagement
- Parterres en arc : quantité de terre, paillis
- Arrosage sectoriel : zone couverte par un arroseur (angle réglable)
Graphiques & visualisation
- Camemberts : représentation de pourcentages
- Jauges circulaires : indicateurs de progression
💡 Conseil
Pour un secteur, utilisez directement la formule (θ/360) × πr². Pour un segment, calculez secteur - triangle.
6. FAQ – Questions fréquentes
Quelle est la différence entre secteur et segment ?
Le secteur inclut 2 rayons + arc (part de pizza complète). Le segment inclut corde + arc (croûte de pizza, sans pointe).
Comment calculer l'aire d'un secteur ?
Utilisez A = (θ / 360) × π × r² (θ en degrés). Exemple : r = 10 cm, θ = 60° → A = 52,36 cm².
Comment calculer l'aire d'un segment ?
Calculez l'aire du secteur, puis soustrayez l'aire du triangle : Asegment = Asecteur - Atriangle.
Quand utiliser secteur vs segment ?
Secteur : part de pizza, graphique camembert, arroseur. Segment : arc de jardin, fenêtre en arc, croûte de pizza.
🔵 Calculez l'aire d'un cercle complet
Pour un cercle entier (360°), utilisez notre calculateur avec rayon ou diamètre. Conversions m²/cm²/mm² incluses.
Calcul surface cercle (πr²)