Surface d'un polygone régulier (pentagone, hexagone, octogone) : formules
Un polygone régulier est une figure géométrique avec tous les côtés égaux et tous les angles égaux. Les plus courants sont le pentagone (5 côtés), l'hexagone (6 côtés) et l'octogone (8 côtés). Calculer leur aire nécessite de connaître le côté (c) ou l'apothème (a). Ce guide présente les formules, un tableau récapitulatif et des exemples concrets.
1. Qu'est-ce qu'un polygone régulier ?
Un polygone régulier est une figure plane fermée avec :
- Tous les côtés égaux (équilatéral)
- Tous les angles égaux (équiangle)
Exemples
- Triangle équilatéral : 3 côtés égaux
- Carré : 4 côtés égaux
- Pentagone régulier : 5 côtés égaux
- Hexagone régulier : 6 côtés égaux
- Octogone régulier : 8 côtés égaux
Apothème
L'apothème (a) est la distance perpendiculaire du centre du polygone au milieu d'un côté.
2. Formule générale : (périmètre × apothème) / 2
L'aire d'un polygone régulier se calcule avec :
Aire = (Périmètre × Apothème) / 2
Où :
- Périmètre = n × c (n = nombre de côtés, c = longueur d'un côté)
- Apothème (a) = distance du centre au milieu d'un côté
Formule simplifiée (avec côté c)
Si vous connaissez seulement le côté c, utilisez :
Aire = (n × c²) / (4 × tan(180°/n))
⚡ En résumé
Pour un polygone régulier, multipliez périmètre et apothème, puis divisez par 2. Ou utilisez la formule avec le côté c.
3. Pentagone (5 côtés)
Un pentagone régulier a 5 côtés égaux et 5 angles de 108°.
Formule (avec côté c)
Aire = (5 × c²) / (4 × tan(36°)) ≈ 1,72 × c²
Exemple
Données : Côté c = 4 m
Aire ≈ 1,72 × 4² = 1,72 × 16 = 27,52 m²
Cas d'usage
- Architecture : Pentagone (bâtiment américain)
- Design : tables, panneaux
4. Hexagone (6 côtés)
Un hexagone régulier a 6 côtés égaux et 6 angles de 120°.
Formule (avec côté c)
Aire = (3√3 / 2) × c² ≈ 2,598 × c²
Exemple
Données : Côté c = 5 m
Aire ≈ 2,598 × 5² = 2,598 × 25 = 64,95 m²
Cas d'usage
- Carrelage : carreaux hexagonaux
- Nid d'abeilles : structure naturelle
- Écrous : visserie
5. Octogone (8 côtés)
Un octogone régulier a 8 côtés égaux et 8 angles de 135°.
Formule (avec côté c)
Aire = 2 × (1 + √2) × c² ≈ 4,828 × c²
Exemple
Données : Côté c = 3 m
Aire ≈ 4,828 × 3² = 4,828 × 9 = 43,45 m²
Cas d'usage
- Panneaux STOP : signalisation routière
- Architecture : fenêtres, pavillons
- Tables : plateaux octogonaux
6. Tableau récapitulatif
| Polygone | Côtés (n) | Formule (avec c) | Coefficient |
|---|---|---|---|
| Triangle équilatéral | 3 | (√3 / 4) × c² | ≈ 0,433 |
| Carré | 4 | c² | 1,000 |
| Pentagone | 5 | 1,72 × c² | ≈ 1,720 |
| Hexagone | 6 | 2,598 × c² | ≈ 2,598 |
| Octogone | 8 | 4,828 × c² | ≈ 4,828 |
| Décagone | 10 | 7,694 × c² | ≈ 7,694 |
💡 Conseil
Pour calculer rapidement, multipliez le carré du côté (c²) par le coefficient du tableau.
7. FAQ – Questions fréquentes
Comment calculer l'aire d'un polygone régulier ?
Utilisez : Aire = (Périmètre × Apothème) / 2. Ou avec le côté c : Aire = Coefficient × c² (voir tableau).
Qu'est-ce que l'apothème ?
L'apothème est la distance perpendiculaire du centre du polygone au milieu d'un côté.
Comment calculer l'aire d'un hexagone ?
Utilisez : Aire ≈ 2,598 × c² (c = côté). Exemple : c = 5 m → Aire ≈ 64,95 m².
Quelle est la différence entre polygone régulier et irrégulier ?
Régulier : tous les côtés et angles égaux. Irrégulier : côtés ou angles différents.
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