Surface d'un triangle : 3 méthodes (base×hauteur, Héron, coordonnées) Version 2
Calculer l'aire d'un triangle peut se faire de 3 manières selon les données disponibles : base × hauteur (méthode classique), formule de Héron (3 côtés), ou coordonnées (3 sommets). Ce guide présente les 3 formules, leurs cas d'usage, des exemples concrets et un tableau comparatif.
1. Méthode 1 : Base × Hauteur
La méthode classique utilise la base et la hauteur du triangle.
Formule
Aire = (1/2) × Base × Hauteur
Ou : A = (b × h) / 2
Où :
- Base (b) : un côté du triangle (n'importe lequel)
- Hauteur (h) : distance perpendiculaire de la base au sommet opposé
Exemple
Données : Base = 6 m, Hauteur = 4 m
Aire = (6 × 4) / 2 = 24 / 2 = 12 m²
Cas d'usage
- Triangle rectangle (hauteur = un des côtés de l'angle droit)
- Triangle isocèle (hauteur facile à mesurer)
- Terrain triangulaire (mesure au sol)
⚡ En résumé
Méthode la plus simple si vous connaissez base et hauteur. Idéale pour triangles rectangles.
2. Méthode 2 : Formule de Héron
La formule de Héron calcule l'aire à partir des 3 côtés (a, b, c), sans connaître la hauteur.
Formule
Aire = √(s × (s-a) × (s-b) × (s-c))
Où s (demi-périmètre) = (a + b + c) / 2
Étapes
- Calculez le demi-périmètre :
s = (a + b + c) / 2 - Calculez :
Aire = √(s × (s-a) × (s-b) × (s-c))
Exemple
Données : Côtés a = 5 m, b = 6 m, c = 7 m
- s = (5 + 6 + 7) / 2 = 9
- Aire = √(9 × (9-5) × (9-6) × (9-7)) = √(9 × 4 × 3 × 2) = √216 ≈ 14,70 m²
Cas d'usage
- Terrain triangulaire (mesure des 3 côtés au sol)
- Triangle quelconque (pas de hauteur connue)
- Calculs topographiques
3. Méthode 3 : Coordonnées
Si vous connaissez les coordonnées (x, y) des 3 sommets, utilisez cette formule.
Formule
Aire = (1/2) × |x₁(y₂-y₃) + x₂(y₃-y₁) + x₃(y₁-y₂)|
Où (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃) sont les coordonnées des 3 sommets.
Exemple
Données : A(0, 0), B(4, 0), C(2, 3)
Aire = (1/2) × |0×(0-3) + 4×(3-0) + 2×(0-0)| = (1/2) × |0 + 12 + 0| = 6 m²
Cas d'usage
- Calculs géométriques (logiciels CAO, SIG)
- Programmation informatique
- Triangulation GPS
4. Tableau comparatif
| Méthode | Données nécessaires | Formule | Cas d'usage |
|---|---|---|---|
| Base × Hauteur | Base + Hauteur | (b × h) / 2 | Triangle rectangle, isocèle |
| Héron | 3 côtés (a, b, c) | √(s × (s-a) × (s-b) × (s-c)) | Terrain, triangle quelconque |
| Coordonnées | 3 sommets (x, y) | (1/2) × |x₁(y₂-y₃) + x₂(y₃-y₁) + x₃(y₁-y₂)| | CAO, SIG, programmation |
💡 Conseil
Choisissez la méthode selon les données disponibles : base+hauteur (simple), 3 côtés (Héron), coordonnées (logiciels).
5. Exemples concrets
Exemple 1 : Terrain triangulaire (Héron)
Un terrain a 3 côtés : 10 m, 12 m, 14 m.
- s = (10 + 12 + 14) / 2 = 18
- Aire = √(18 × 8 × 6 × 4) = √3456 ≈ 58,79 m²
Exemple 2 : Toit triangulaire (Base × Hauteur)
Un toit triangulaire : base = 8 m, hauteur = 3 m.
Aire = (8 × 3) / 2 = 12 m²
Exemple 3 : Triangle rectangle (Base × Hauteur)
Triangle rectangle : côtés perpendiculaires = 5 m et 12 m.
Aire = (5 × 12) / 2 = 30 m²
6. FAQ – Questions fréquentes
Quelle méthode utiliser pour calculer l'aire d'un triangle ?
Si vous connaissez base + hauteur : (b×h)/2. Si vous connaissez 3 côtés : Héron. Si vous connaissez coordonnées : formule coordonnées.
Comment calculer l'aire d'un triangle rectangle ?
Utilisez les 2 côtés perpendiculaires comme base et hauteur : Aire = (côté1 × côté2) / 2.
Qu'est-ce que la formule de Héron ?
Formule pour calculer l'aire d'un triangle à partir des 3 côtés : Aire = √(s × (s-a) × (s-b) × (s-c)), où s = (a+b+c)/2.
Comment mesurer la hauteur d'un triangle ?
La hauteur est la distance perpendiculaire de la base au sommet opposé. Utilisez une équerre ou un théorème de Pythagore.
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