Volume cône (1/3πr²h) – formule, rayon, hauteur, exemples concrets Guide Complet
⚠️ En bref
Formule : V = (1/3) × π × r² × h. Le cône est 1/3 du cylindre de même base et hauteur. Rayon = rayon de la base circulaire. Hauteur = distance perpendiculaire du sommet à la base.
📐 Formule volume cône
La formule ressemble à celle du cylindre, mais divisée par 3.
Formule : V = (1/3) × π × r² × h
Avec π ≈ 3,14159. Le rayon r est celui de la base circulaire. La hauteur h est perpendiculaire à la base.
Exemple : Rayon 2 m, hauteur 3 m
V = (1/3) × 3,14 × 2² × 3 = (1/3) × 3,14 × 4 × 3 ≈ 12,56 m³
📐 º Pourquoi 1/3 ?
Un cône occupe exactement 1/3 du volume d'un cylindre de même base et hauteur.
Démonstration géométrique : si vous remplissez un cône d'eau et le versez dans un cylindre de même base/hauteur, il faut 3 cônes pour remplir le cylindre.
Cylindre : V = πr²h
Cône : V = (1/3)πr²h
📐 Exemples concrets
Tas de sable conique
Un tas de sable forme souvent un cône. Exemple : rayon base 3 m, hauteur 2 m.
V = (1/3) × 3,14 × 3² × 2 = (1/3) × 3,14 × 9 × 2 ≈ 18,84 m³
Avec une densité de sable sec (1600 kg/m³), ça fait environ 30 tonnes.
Entonnoir
Un entonnoir de cuisine. Rayon 5 cm = 0,05 m, hauteur 8 cm = 0,08 m.
V = (1/3) × 3,14 × 0,05² × 0,08 ≈ 0,00021 m³ = 0,21 litre = 210 mL
Silo agricole conique
Certains silos ont un fond conique. Rayon 4 m, hauteur partie conique 3 m.
V = (1/3) × 3,14 × 4² × 3 ≈ 50,24 m³
📐 Tableau des volumes de cônes courants
| Application | Rayon | Hauteur | Volume |
|---|---|---|---|
| Cornet de glace | 3 cm | 12 cm | 113 cm³ (0,11 L) |
| Entonnoir cuisine | 5 cm | 8 cm | 209 cm³ (0,21 L) |
| Cône de signalisation | 15 cm | 50 cm | 11 781 cm³ (11,8 L) |
| Tas de sable petit | 1 m | 0,8 m | 0,84 m³ (840 L) |
| Tas de sable moyen | 3 m | 2 m | 18,85 m³ |
| Silo conique | 4 m | 3 m | 50,27 m³ |
📐 Angle au sommet et génératrice
La génératrice (g) est la ligne du sommet au bord de la base : g = √(r² + h²)
L'angle au sommet (α) : tan(α/2) = r/h
| Rayon | Hauteur | Génératrice | Angle sommet | Surface latérale |
|---|---|---|---|---|
| 1 m | 2 m | 2,24 m | 53° | 7,02 m² |
| 2 m | 3 m | 3,61 m | 67° | 22,65 m² |
| 3 m | 4 m | 5 m | 73° | 47,12 m² |
Surface latérale : S = π × r × g
Surface totale : S_total = π × r × (r + g)
📐 Tronc de cône
Un tronc de cône est un cône dont on a coupé le sommet. Formule plus complexe.
Formule : V = (1/3) × π × h × (R² + R×r + r²)
R = rayon grande base, r = rayon petite base, h = hauteur.
Exemple : R=3 m, r=1 m, h=2 m
V = (1/3) × 3,14 × 2 × (9 + 3 + 1) = (1/3) × 3,14 × 2 × 13 ≈ 27,23 m³
📐 Angle de repos des matériaux
Quand on verse un matériau granulaire, il forme naturellement un cône. L'angle de repos détermine le rapport hauteur/rayon.
| Matériau | Angle de repos | Rapport h/r | Densité (kg/m³) |
|---|---|---|---|
| Sable sec | 30-35° | 0,58-0,70 | 1500-1700 |
| Gravier | 35-40° | 0,70-0,84 | 1800-2000 |
| Blé | 25-30° | 0,47-0,58 | 750-850 |
| Ciment | 35-40° | 0,70-0,84 | 1400-1600 |
❓ FAQ
Comment calculer le volume d'un cône (1/3πr²h) ?
Formule : V = (1/3) × π × r² × h. Exemple : r=2 m, h=3 m → V ≈ 12,56 m³.
Pourquoi 1/3 dans la formule du cône ?
Un cône occupe 1/3 du volume d'un cylindre de même base et hauteur. C'est une propriété géométrique.
Volume tas de sable conique (rayon 3 m, hauteur 2 m) ?
V = (1/3) × π × 3² × 2 ≈ 18,84 m³. Avec densité sable 1600 kg/m³ → environ 30 tonnes.
Tronc de cône : quelle formule ?
V = (1/3) × π × h × (R² + R×r + r²). R=grand rayon, r=petit rayon, h=hauteur.
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📖 Guide pratique
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