Convertisseur Degrés ↔ Radians
📌 En bref : rad = degrés × π/180. Inversement : degrés = rad × 180/π. Référence : 180° = π rad ≈ 3,14159 rad. 360° = 2π rad. 90° = π/2 rad. 1 rad ≈ 57,296°.
Convertir Degrés en Radians — ° ↔ rad — Angles
Le radian : unité d'angle du Système International
Le radian est l'unité SI pour les angles. rad = degrés × π/180. 1 radian correspond à l'angle au centre d'un cercle dont l'arc a la même longueur que le rayon. Donc 360° = 2π rad ≈ 6,2832 rad.
Angles fondamentaux
0° = 0 rad. 30° = π/6 ≈ 0,5236 rad. 45° = π/4 ≈ 0,7854 rad. 60° = π/3 ≈ 1,0472 rad. 90° = π/2 ≈ 1,5708 rad. 180° = π ≈ 3,1416 rad. 270° = 3π/2 ≈ 4,7124 rad. 360° = 2π ≈ 6,2832 rad.
Pourquoi les radians en mathématiques ?
Les radians simplifient les formules de trigonométrie, de dérivées (d/dx(sin x) = cos x seulement en radians) et de physique (vitesse angulaire ω = dθ/dt en rad/s). Les calculatrices et langages de programmation utilisent les radians par défaut pour les fonctions trigonométriques.
Exemple concret
Convertir 120 degres en radians : 120 × π/180 = 120 × 3,14159/180 = 2,0944 rad, soit 2π/3. En programmation Python, math.sin(90) donnera un resultat incorrect car Python attend des radians : il faut ecrire math.sin(math.pi/2) pour obtenir sin(90°) = 1. Inverser : 2,5 rad × 180/π = 2,5 × 57,296 = 143,24 degres. Le radian est l'unite SI des angles selon le BIPM (symbole rad, unites supplementaires du SI).
Bon a savoir
- Le radian est une unite derivee sans dimension du SI : c'est un rapport de longueurs (arc / rayon)
- 1 radian ≈ 57,2958 degres, soit environ 57° 17' 45"
- En physique, la frequence angulaire ω s'exprime en rad/s : ω = 2πf (avec f en Hz)
- La vitesse de rotation d'un moteur se convertit : 3 000 tours/min = 3 000 × 2π/60 = 314,16 rad/s
Questions fréquentes
Formule degrés → radians ?
rad = degrés × π/180. Exemple : 45° → 45 × π/180 = π/4 ≈ 0,7854 rad.
Combien de radians dans un cercle complet ?
360° = 2π ≈ 6,28318 radians.
Pourquoi utiliser les radians ?
Simplifie les formules de dérivées, physique et programmation. Les fonctions sin/cos des langages de programmation attendent des radians.
Comment convertir des grades (gon) en degres et en radians ?
Le grade (ou gon) est une unite d'angle ou le cercle complet vaut 400 grades. Conversion : 1 grade = 0,9 degre = π/200 rad. Exemple : 100 grades = 90 degres = π/2 rad. Les grades sont utilises en geodesie et topographie francaises. 400 grades = 360 degres = 2π rad.
Quelle est la formule de la longueur d'arc a partir d'un angle en radians ?
La longueur d'arc L = r × θ, ou r est le rayon et θ l'angle en radians. C'est precisement la definition du radian : quand L = r, θ = 1 rad. Exemple : pour un cercle de rayon 5 m avec un angle de 60° (π/3 rad), la longueur d'arc = 5 × π/3 = 5,236 m. Cette formule simple est la raison pour laquelle les radians sont preferes en calcul.
Comment les radians sont-ils utilises en programmation et dans les calculatrices ?
Tous les langages de programmation (Python, JavaScript, C, Java) utilisent les radians par defaut dans leurs fonctions trigonometriques. Sur une calculatrice, verifiez le mode : "DEG" pour les degres, "RAD" pour les radians, "GRAD" pour les grades. En JavaScript : Math.sin(Math.PI/2) = 1. En Python : import math; math.cos(math.pi) = -1.