Matrices stochastiques et chaînes de Markov
Matrice stochastique T : chaque entrée ∈ [0,1] et la somme de chaque ligne = 1.
| Concept | Définition | Formule clé |
|---|---|---|
| Matrice de transition | Tᵢⱼ = P(passer de i à j) | Σⱼ Tᵢⱼ = 1 (ligne) |
| État après n étapes | Vecteur de probabilité | π₍ₙ₎ = π₀ · Tⁿ |
| État stationnaire | Distribution invariante | π∞ · T = π∞ |
| 2 états stoch. | T=[[p,1-p],[1-q,q]] | π∞₁ = (1-q)/(2-p-q) |
3 exemples concrets de matrices stochastiques
Exemple 1 — Météorologie : prévision jour/nuit
Un modèle simple : si aujourd'hui est Soleil, demain sera Soleil avec P=0.7 et Pluie avec P=0.3. Si Pluie, demain sera Soleil avec P=0.4. Matrice T = [[0.7, 0.3],[0.4, 0.6]]. État stationnaire : π∞ = (0.4/0.7, 0.3/0.7) normalisé = (57%, 43%). Sur le long terme, 57% des jours sont ensoleillés.
Exemple 2 — Marketing : fidélité client
Un client peut être "Fidèle" (F) ou "Volatile" (V). Si F, reste F avec P=0.8 ; si V, devient F avec P=0.3. T = [[0.8, 0.2],[0.3, 0.7]]. État stationnaire : π∞(F) = 0.3/(0.2+0.3) = 60%. À l'équilibre, 60% des clients sont fidèles. Cela donne un taux de rétention à long terme indépendant de la distribution initiale.
Exemple 3 — PageRank de Google
L'algorithme PageRank original modélise un surfeur aléatoire sur le web comme une chaîne de Markov. La matrice de transition T a pour coefficients Tᵢⱼ = 1/degré(i) si la page i pointe vers j, sinon 0. L'état stationnaire π∞ donne l'importance de chaque page. C'est une matrice stochastique de milliards de lignes résolue par l'algorithme de la puissance itérée.
Calcul Stochastique : Calculateur G — le resultat merite un bon guide
Consultez les avis — ce guide aide des milliers de personnes sur ce sujet.
Voir sur Amazon →Partenaire Amazon · Prix inchange pour vous
Erreurs fréquentes — matrices stochastiques
Questions fréquentes — calcul stochastique et matrices de Markov
Qu'est-ce qu'une chaîne de Markov ?
Une chaîne de Markov est un processus stochastique où l'état futur ne dépend que de l'état présent, pas du passé (propriété de Markov). Le modèle météo, le mouvement brownien, les prédictions de texte (GPT) et le PageRank sont tous des chaînes de Markov.
Comment calculer l'état stationnaire d'une chaîne de Markov 2×2 ?
Pour T = [[p, 1-p],[1-q, q]], l'état stationnaire satisfait π∞T = π∞. Solution : π∞₁ = (1-q)/(2-p-q) et π∞₂ = (1-p)/(2-p-q). Cas particulier : si p=q=0.5, alors π∞ = (0.5, 0.5).
Quelle est la valeur propre dominante d'une matrice stochastique ?
Toute matrice stochastique a 1 comme valeur propre dominante (valeur propre de plus grand module = 1). L'état stationnaire correspond au vecteur propre associé à λ=1. Les autres valeurs propres ont un module ≤ 1.
Qu'est-ce qu'une chaîne de Markov irréductible ?
Irréductible signifie que tout état est accessible depuis tout autre état (le graphe de transition est fortement connexe). L'irréductibilité garantit l'existence et l'unicité de l'état stationnaire.
Quel lien entre matrice stochastique et indépendance ?
Si chaque ligne de T est identique, les transitions sont indépendantes de l'état courant — la "mémoire" est nulle. L'état stationnaire est atteint dès la 1ère étape, quelque soit la distribution initiale.
Comment le calcul stochastique est-il utilisé en finance ?
Les modèles de taux d'intérêt (Vasicek, CIR), la formule de Black-Scholes pour les options, et les simulations Monte-Carlo reposent tous sur le calcul stochastique (équations différentielles stochastiques). La matrice de transition généralise ces modèles aux états discrets.
Qu'est-ce que le théorème ergodique pour les chaînes de Markov ?
Pour une chaîne irréductible et apériodique, la moyenne temporelle (fréquence de visites de chaque état) converge vers la moyenne d'ensemble (état stationnaire), peu importe l'état initial. C'est la base théorique de PageRank et des simulations MCMC.
Quelle différence entre matrice doublement stochastique et stochastique ?
Doublement stochastique : lignes ET colonnes somment à 1. Les matrices de bistochastique apparaissent en théorie de transport optimal (problème de Monge-Kantorovich). Par le théorème de Birkhoff, elles sont des combinaisons convexes de matrices de permutation.