Programme de calcul en 3ème : ce que demande le BO
Un programme de calcul est une suite d'instructions mathématiques à appliquer à un nombre de départ pour en produire un autre. En 3ème, les élèves apprennent à exécuter des programmes de calcul, à les traduire en expressions algébriques, à les comparer, et à découvrir des propriétés en testant différentes valeurs initiales.
Cette notion, apparemment simple, constitue une introduction intuitive aux fonctions et à la notion d'algorithme — deux piliers du lycée et de l'informatique.
Exécuter un programme de calcul : méthode
Programme de calcul P : "Choisir un nombre. Multiplier par 3. Ajouter 5. Soustraire le double du nombre de départ."
Exécution avec x = 4 :
- 4 × 3 = 12
- 12 + 5 = 17
- 17 − (2 × 4) = 17 − 8 = 9
Exécution avec x = 7 :
- 7 × 3 = 21
- 21 + 5 = 26
- 26 − 14 = 12
Observation : quel que soit x, le résultat semble toujours égal à x + 5. On vérifie par le calcul algébrique.
Traduire un programme de calcul en expression algébrique
C'est la compétence centrale du programme de 3ème : passer de la suite d'instructions au symbole algébrique.
Traduction du programme P ci-dessus :
- Choisir un nombre : x
- Multiplier par 3 : 3x
- Ajouter 5 : 3x + 5
- Soustraire le double : 3x + 5 − 2x = x + 5
L'expression finale est x + 5. Cela confirme que le résultat est toujours le nombre de départ augmenté de 5.
Comparer deux programmes de calcul
Un exercice classique du DNB consiste à prouver que deux programmes de calcul différents donnent toujours le même résultat. La démarche : traduire chacun en expression algébrique, développer et réduire, puis comparer.
Programme A : "Prendre x, multiplier par (x + 3)."
Expression A : x(x + 3) = x² + 3x
Programme B : "Prendre x, calculer (x + 1)² − (x + 1)."
Expression B : (x+1)² − (x+1) = x² + 2x + 1 − x − 1 = x² + x
Les deux programmes ne donnent pas le même résultat (A = x² + 3x ≠ x² + x = B), sauf pour x = 0 et x = −2 (solutions de 3x = x).
Programmes de calcul et équations
On peut utiliser des programmes de calcul pour résoudre des équations. Si le programme donne le résultat R, alors trouver le nombre de départ revient à résoudre l'équation algébrique.
Exercice : Le programme "multiplier par 4, soustraire 7" donne 13. Quel est le nombre de départ ?
Expression : 4x − 7 = 13 → 4x = 20 → x = 5.
Vérification : 5 × 4 = 20 ; 20 − 7 = 13 ✓
Programmes de calcul et conjecture de propriétés
En testant plusieurs valeurs initiales et en observant les résultats, on peut formuler une conjecture — une propriété supposée vraie qu'on cherchera ensuite à démontrer algébriquement.
Programme : "Choisir deux entiers consécutifs. Les multiplier. Ajouter 1."
- 1 et 2 : 1×2+1 = 3 = 1²
- 2 et 3 : 2×3+1 = 7 = ... hmm
- 3 et 4 : 3×4+1 = 13
Reformulons : le produit de deux entiers consécutifs n et n+1, plus 1 :
n(n+1) + 1 = n² + n + 1. Ce n'est pas un carré parfait en général.
Mais si le programme était "le carré du milieu" : (n+1)² = n² + 2n + 1. Et n(n+2) + 1 = n² + 2n + 1 = (n+1)². Conjecture : le produit de deux entiers avec un écart de 2, augmenté de 1, donne un carré parfait !
Lien avec les fonctions (préparation Seconde)
Un programme de calcul est fondamentalement une fonction. L'expression algébrique obtenue est la règle d'association de la fonction. Par exemple, le programme "multiplier par 2, ajouter 3" correspond à la fonction f(x) = 2x + 3, une droite affine dont la pente est 2 et l'ordonnée à l'origine est 3.
Cette connexion prépare directement au programme de Seconde où les fonctions linéaires et affines sont étudiées formellement.
Questions fréquentes
Comment se présentent les exercices de programme de calcul au DNB ?
Au DNB, les exercices sur les programmes de calcul demandent typiquement : (1) d'appliquer le programme à une valeur donnée, (2) de traduire le programme en expression algébrique, (3) de montrer que deux programmes donnent toujours le même résultat, ou (4) de résoudre une équation liée au programme. Ces exercices sont notés sur 3 à 5 points selon la complexité.
Quel lien entre programme de calcul et algorithme informatique ?
Un programme de calcul mathématique est la version "papier" d'un algorithme informatique. En classe de 3ème, certains programmes introduisent aussi la codification de ces programmes en Python ou en pseudo-code dans le cadre du thème "algorithmes et programmation" du programme officiel.
