Le programme de calcul en 4ème : introduction à la pensée algorithmique
En classe de 4ème, la notion de programme de calcul est introduite pour la première fois. Un programme de calcul est une suite d'instructions appliquées à un nombre, décrites en langage courant ou en pseudo-code. L'objectif pédagogique est double : apprendre à exécuter un programme (calculer un résultat pour une entrée donnée) et apprendre à traduire un programme en expression algébrique.
Cette compétence prépare directement les élèves à la fois au calcul littéral de 3ème et à l'algorithmique (Python) inscrite dans le programme depuis 2016.
Exécuter un programme de calcul : la méthode étape par étape
L'exécution d'un programme de calcul consiste à appliquer les instructions dans l'ordre, en remplaçant "le nombre de départ" par la valeur choisie.
Programme P :
- Choisir un nombre.
- Le multiplier par 4.
- Soustraire le nombre de départ.
- Diviser par 3.
Exécution avec x = 6 :
- 6 × 4 = 24
- 24 − 6 = 18
- 18 ÷ 3 = 6
Exécution avec x = 12 :
- 12 × 4 = 48
- 48 − 12 = 36
- 36 ÷ 3 = 12
Observation intéressante : le résultat est toujours égal au nombre de départ ! On va le prouver algébriquement.
Traduire un programme en expression algébrique (4ème)
On remplace "le nombre de départ" par la lettre x et on traduit chaque instruction en opération mathématique.
Traduction du programme P :
- Choisir un nombre : x
- Multiplier par 4 : 4x
- Soustraire le nombre de départ : 4x − x = 3x
- Diviser par 3 : 3x / 3 = x
L'expression finale est x. Le programme redonne toujours le nombre de départ — c'est une identité.
Comparer deux programmes de calcul en 4ème
Un exercice type consiste à vérifier si deux programmes donnent le même résultat pour toutes les valeurs ou seulement certaines.
Programme A : "Choisir x, ajouter 5, multiplier par 2."
Expression A : 2(x + 5) = 2x + 10
Programme B : "Choisir x, multiplier par 2, ajouter 10."
Expression B : 2x + 10
Les deux expressions sont identiques (2x + 10 = 2x + 10), donc les programmes donnent toujours le même résultat. C'est une propriété de la distributivité.
Programme C : "Choisir x, multiplier par 3, ajouter 6."
Expression C : 3x + 6
Programme D : "Choisir x, ajouter 2, multiplier par 3."
Expression D : 3(x + 2) = 3x + 6
C et D donnent le même résultat. Ce résultat illustre la distributivité : 3(x + 2) = 3x + 6.
Trouver le nombre de départ à partir du résultat
Quand on connaît la sortie d'un programme et qu'on cherche l'entrée, on résout l'équation correspondante.
Exercice : Le programme "choisir x, multiplier par 5, soustraire 3" donne 22. Trouver x.
5x − 3 = 22 → 5x = 25 → x = 5
Vérification : 5×5 = 25 ; 25−3 = 22 ✓
Programmes de calcul avec deux opérations imbriquées
En 4ème avancé, les programmes peuvent inclure des opérations sur le résultat intermédiaire.
Programme E :
- Choisir un nombre x.
- Calculer son double : 2x.
- Ajouter 1 au double : 2x + 1.
- Multiplier le résultat par le nombre de départ : x(2x + 1).
Expression finale : x(2x + 1) = 2x² + x (après développement).
Pour x = 3 : 3(6+1) = 3×7 = 21. Et 2×9+3 = 18+3 = 21 ✓.
Tableau de valeurs et représentation graphique
En 4ème, les élèves construisent des tableaux de valeurs pour les expressions algébriques issues des programmes de calcul, première étape vers la représentation graphique des fonctions en Seconde.
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 2x + 1 | −3 | −1 | 1 | 3 | 5 | 7 |
Questions fréquentes — Programme de calcul 4ème
Comment traduire "le double du nombre de départ" en algèbre ?
Si x est le nombre de départ, "le double" se traduit par 2x. "Le triple" par 3x. "La moitié" par x/2. "Le carré" par x². Attention à bien distinguer "le double du résultat précédent" (ce qui implique de suivre le programme étape par étape) de "le double du nombre de départ" (toujours 2x, quelle que soit l'étape).
Quelle différence entre programme de calcul en 4ème et en 3ème ?
En 4ème, les programmes de calcul sont simples (deux à trois opérations) et se traduisent en expressions du premier degré ou polynomiales simples. En 3ème, les programmes deviennent plus complexes et font souvent intervenir les identités remarquables. L'objectif en 3ème est aussi de prouver des propriétés générales (résultats toujours pairs, toujours multiples de...) grâce à la factorisation.
