Qu'est-ce qu'une racine carree ?
La racine carree d'un nombre n est le nombre positif qui, multiplie par lui-meme, donne n. On la note √n. Par definition : si √n = x, alors x² = n. Cette operation est l'inverse de l'elevation au carre. Elle est fondamentale en geometrie (theoreme de Pythagore), en physique (calcul de vitesses, d'intensites) et en statistiques (ecart-type).
√n = x ⟺ x² = n (avec x ≥ 0)
√(a × b) = √a × √b (decomposition en facteurs)
√(a / b) = √a / √b (quotient, b ≠ 0)
√(a²) = |a| = a (si a ≥ 0)
(√a)² = a (pour tout a ≥ 0)
Vous avez votre résultat ? Maths Pro génère des exercices corrigés illimités sur ce thème. Fiches PDF par niveau (3e-Terminale).
M'entraîner avec Maths Pro →14,90 € une fois · Sources officielles · Export PDF
Carres parfaits : la liste a memoriser
Les carres parfaits sont les entiers dont la racine carree est elle-meme entiere. Les connaitre par coeur accelere enormement les calculs mentaux et simplifie les expressions avec radicaux.
| n | n² | n | n² | n | n² |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 6 | 36 | 11 | 121 |
| 2 | 4 | 7 | 49 | 12 | 144 |
| 3 | 9 | 8 | 64 | 13 | 169 |
| 4 | 16 | 9 | 81 | 14 | 196 |
| 5 | 25 | 10 | 100 | 15 | 225 |
Methodes de calcul pas a pas
Methode 1 : encadrement par entiers successifs
Pour calculer √50 manuellement : chercher deux entiers consecutifs dont les carres encadrent 50. On sait que 7² = 49 et 8² = 64. Donc 7 < √50 < 8. On affine : 7,1² = 50,41 (trop grand). 7,07² = 49,98 ≈ 50. Donc √50 ≈ 7,07.
Exemple 1 — Carre parfait : √144
On cherche x tel que x² = 144. On connait 12² = 144. Donc √144 = 12 (exact, entier).
Exemple 2 — Decomposition en facteurs : √72
72 = 36 × 2, donc √72 = √36 × √2 = 6√2 ≈ 6 × 1,4142 = 8,485.
Exemple 3 — Application Pythagore : triangle rectangle avec cotes 3 et 4
Hypotenuse = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5. Triangle 3-4-5, carre parfait.
Methode 2 : simplification par decomposition
Pour simplifier √180 : decomposer 180 en facteurs premiers. 180 = 4 × 45 = 4 × 9 × 5 = 36 × 5. Donc √180 = √36 × √5 = 6√5 ≈ 6 × 2,236 = 13,416. Cette methode donne une forme exacte (6√5) plus utile qu'une approximation decimale en mathematiques.
Methode 3 : algorithme de Babylone (iteratif)
Pour √n, partir d'une estimation x₀, puis iterer : x₁ = (x₀ + n/x₀) / 2. Converge tres rapidement. Exemple pour √2, partir de x₀ = 1 : x₁ = (1 + 2/1)/2 = 1,5 ; x₂ = (1,5 + 2/1,5)/2 = 1,4167 ; x₃ = 1,4142. Precision atteinte en 3 iterations.
Erreur 1 — Racine d'une somme ≠ somme des racines : √(9 + 16) ≠ √9 + √16. √25 = 5, mais 3 + 4 = 7. Ces deux valeurs sont differentes ! La propriete de decomposition ne s'applique qu'au produit et au quotient, jamais a l'addition.
Erreur 2 — Oublier que la racine est toujours positive : √25 = 5, pas ±5. La notation √ designe par convention la racine carree positive (racine principale). L'equation x² = 25 a deux solutions (x = 5 et x = -5), mais √25 = 5 uniquement.
Erreur 3 — Confondre √(x²) et (√x)² : √(x²) = |x| (valeur absolue), pas x. Si x = -3, √((-3)²) = √9 = 3, pas -3. En revanche (√x)² = x pour x ≥ 0.
Applications pratiques des racines carrees
Les racines carrees apparaissent dans de nombreux contextes concrets. En geometrie : la diagonale d'un carre de cote a vaut a√2 ≈ 1,414a. Pour un carre de 10 cm de cote, la diagonale mesure 10√2 ≈ 14,14 cm. En physique, la vitesse quadratique moyenne des molecules de gaz fait intervenir une racine carree. En finance, la volatilite d'un actif sur T jours = volatilite quotidienne × √T (regle de la racine du temps).
FAQ — Racines carrees
Peut-on calculer la racine carree d'un nombre negatif ?
Non, pas dans les nombres reels. √(-1) n'existe pas dans R. En mathematiques avancees, on introduit le nombre imaginaire i = √(-1), et les nombres complexes permettent de calculer √(-9) = 3i. Les calculatrices scientifiques affichent une erreur (Erreur Math ou NaN) si vous tentez de calculer la racine d'un negatif en mode reel.
Quelle est la difference entre racine carree et racine cubique ?
La racine carree √n donne le nombre qui, eleve au carre (puissance 2), donne n. La racine cubique ∛n donne le nombre qui, eleve au cube (puissance 3), donne n. Exemples : √8 ≈ 2,828 mais ∛8 = 2 (exact). La racine cubique existe pour les negatifs : ∛(-8) = -2.
Comment simplifier √48 sans calculatrice ?
Decomposer 48 en facteurs : 48 = 16 × 3. Donc √48 = √16 × √3 = 4√3. Pour verifier : (4√3)² = 16 × 3 = 48. La forme exacte 4√3 est preferable a l'approximation 6,928 dans les expressions algebriques. Astuce : chercher toujours le plus grand carre parfait diviseur.
Comment calculer √2, √3, √5 de tete ?
Ces valeurs se memorisent : √2 ≈ 1,414 (retenir "un point quatre un quatre"), √3 ≈ 1,732 ("un point sept trois deux"), √5 ≈ 2,236. Ces trois racines reviennent tres souvent en geometrie (diagonales, triangles 30-60-90, pentagone regulier). Avec ces valeurs en tete, on peut estimer rapidement n'importe quelle racine par decomposition.
Quel est le lien entre racine carree et puissance ?
√n = n^(1/2). La racine carree est la puissance 1/2. De meme, la racine cubique est n^(1/3). Cette ecriture avec des puissances fractionnaires unifie toutes les racines : √√n = n^(1/4) (racine quatrieme). Les regles des puissances s'appliquent : n^(1/2) × n^(1/2) = n^(1) = n, ce qui confirme que (√n)² = n.
Comment rationaliser un denominateur avec une racine carree ?
Multiplier numerateur et denominateur par la racine. Exemple : 1/√3 = (1 × √3)/(√3 × √3) = √3/3. Pour 1/(√5 + 1), multiplier par le conjuge (√5 - 1) : on obtient (√5 - 1)/((√5)² - 1²) = (√5 - 1)/4. La rationalisation elimine les racines au denominateur, forme exigee dans les expressions simplifiees.
Comment la racine carree intervient-elle dans le calcul de l'ecart-type ?
L'ecart-type σ est la racine carree de la variance : σ = √(Σ(xi - x̄)²/n). On calcule d'abord la variance (moyenne des carres des ecarts), puis on prend sa racine carree pour revenir a l'unite de depart. Par exemple, si une serie de notes a une variance de 16, l'ecart-type est √16 = 4 points. Cela mesure la dispersion autour de la moyenne.
Pourquoi √2 est-il un nombre irrationnel ?
Un nombre irrationnel ne peut pas s'ecrire sous forme de fraction p/q avec p, q entiers. La preuve par l'absurde : supposons √2 = p/q (fraction irreductible), alors 2 = p²/q², soit p² = 2q². Donc p² est pair, donc p est pair (p = 2k). En substituant : 4k² = 2q², soit q² = 2k², donc q est aussi pair. Contradiction (p/q n'est pas irreductible). Donc √2 ne peut pas etre rationnel.
