Calculer l'Aire d'une Ellipse
L'aire d'une ellipse : formule exacte A = π × a × b
L'’aire d'une ellipse est l'une des rares formules exactes en géométrie des courbes. Contrairement au périmètre (qui nécessite des intégrales elliptiques sans forme fermée), l'aire s'exprime simplement : A = π × a × b. Cette formule est valable quelle que soit l'excentricité de l'ellipse.
a est le demi-grand axe (moitié du plus long diamètre). b est le demi-petit axe (moitié du plus court diamètre). Par convention a ≥ b. L'équation de l'ellipse est x²/a² + y²/b² = 1.
Relation avec le cercle
Si a = b = R, l'ellipse devient un cercle : A = π × R × R = πR². L'ellipse est une généralisation directe du cercle.
L'excentricité : mesurer l'allongement
e = √(1 − b²/a²). Pour un cercle e = 0. L'orbite terrestre a e ≈ 0,0167 (quasi-circulaire). La comète de Halley a e ≈ 0,967 (très allongée).
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Tableau de référence
| a (cm) | b (cm) | Aire (cm²) | Excentricité |
|---|---|---|---|
| 5 | 5 | 78,54 | 0 (cercle) |
| 8 | 5 | 125,66 | 0,781 |
| 10 | 6 | 188,50 | 0,800 |
| 15 | 10 | 471,24 | 0,745 |
| 20 | 5 | 314,16 | 0,968 |
3 exemples concrets
Exemple 1 — Jardin : pelouse elliptique
Grand axe 2a = 10 m, petit axe 2b = 6 m. a = 5 m, b = 3 m. Aire = π × 5 × 3 = 15π ≈ 47,12 m². Un rectangle 10×6 = 60 m² : l'ellipse occupe 78,5 % du rectangle englobant (π/4).
Exemple 2 — Astronomie : orbite terrestre
a = 149 598 000 km, b = 149 577 000 km. Aire = π × 149,598 × 149,577 × 10¹² ≈ 70 275 × 10¹² km². L'excentricité e ≈ 0,0167 confirme une orbite quasi-circulaire.
Exemple 3 — Mécanique : joint elliptique
Section elliptique avec a = 35 mm, b = 20 mm. Aire = π × 35 × 20 = 700π ≈ 2199 mm². À 10 bar (1 N/mm²), force de compression = 2199 N ≈ 224 kgf.
4 erreurs fréquentes
- Utiliser les axes entiers au lieu des demi-axes : A = π×a×b utilise les demi-axes. Si vous mesurez les diamètres complets, divisez chacun par 2.
- Appliquer la formule du périmètre pour l'aire : P ≠ A. L'approximation de Ramanujan donne le périmètre.
- Confondre a et b : a est le demi-grand axe (a ≥ b). L'inversion ne change pas l'aire (multiplication commutative) mais fausse l'excentricité.
- Oublier l'unité carrée : a et b en cm donnent A en cm². En m, A en m².
Foire aux questions
Quelle est la formule de l'aire d'une ellipse ?
A = π × a × b. C'est une formule exacte, contrairement au périmètre. Pour a = 8, b = 5 : A = π × 40 = 125,66 cm².
Comment mesurer les demi-axes d'une ellipse ?
Mesurez le grand diamètre et divisez par 2 → a. Mesurez le petit diamètre (perpendiculaire) et divisez par 2 → b.
Quelle différence entre aire et périmètre d'une ellipse ?
L'aire a une formule exacte (πab). Le périmètre n'en a pas : il nécessite une approximation (Ramanujan : P ≈ π[3(a+b) − √((3a+b)(a+3b))]).
Comment calculer l'aire d'un demi-ellipse ?
A_demi = π×a×b/2. Pour a=8, b=5 : A_demi = 20π ≈ 62,83 cm². Utile pour les voûtes semi-elliptiques.
Quelle est l'excentricité d'une ellipse ?
e = √(1 − b²/a²). Pour a=10, b=6 : e = √(1−36/100) = √0,64 = 0,8. Plus e est proche de 1, plus l'ellipse est allongée.
Quelle est la relation entre l'ellipse et son rectangle englobant ?
Aire ellipse = π/4 × Aire rectangle englobant (2a×2b). π/4 ≈ 0,785 : une ellipse occupe toujours 78,5 % du rectangle qui l'entoure.
Peut-on avoir deux ellipses de même aire mais de formes différentes ?
Oui. Il suffit que a₁×b₁ = a₂×b₂. Par exemple a=10,b=4 et a=8,b=5 ont toutes deux A = 40π ≈ 125,66 cm².
Comment retrouver b si on connaît a et l'aire ?
b = A / (π×a). Pour A = 200 cm² et a = 10 cm : b = 200/(31,416) ≈ 6,37 cm.
Applications supplémentaires de l’aire d’ellipse
Exemple — Bassin de jardin elliptique : Un bassin de jardin a une forme elliptique de demi-grand axe a = 3,5 m et demi-petit axe b = 2 m. Aire = π × 3,5 × 2 = π × 7 = 21,99 m². Volume (profondeur 0,6 m) = 21,99 × 0,6 = 13,19 m³ = 13 190 litres. La pompe de filtration doit traiter ce volume en 2 h : débit minimum = 13 190 / 2 = 6 595 L/h. Sans l’aire exacte, la pompe est surdimensionnée ou sous-dimensionnée.
Ellipses et calculs de terrain ovale : Un stade d’athlétisme a une piste extérieure semi-elliptique de demi-axes 100 m et 65 m. La surface totale de la pelouse intérieure = π × 100 × 65 = 20 420 m² ≈ 2 ha. Ce calcul sert à évaluer les besoins en gazon, en arrosage automatique et en fertilisant.
Erreur supplémentaire : confondre axe et demi-axe
- Si votre schéma donne le grand axe = 10 cm (longueur totale), alors a = 5 cm. Utiliser 10 dans la formule donne une aire 4 fois trop grande (π × 10 × b vs π × 5 × b).
- L’aire d’une ellipse est toujours plus petite que le carré circumscrit (2a × 2b) avec un rapport de π/4 ≈ 78,5 %.
L’ellipse dans la nature et les sciences
Lois de Kepler : les orbites planétaires
La première loi de Kepler (1609) stipule que chaque planète orbite autour du Soleil selon une ellipse dont le Soleil occupe l’un des deux foyers. L’aire de cette ellipse intervient dans la deuxième loi de Kepler : le rayon vecteur Soleil-planète balaie des aires égales en des temps égaux. Conséquence : une planète se déplace plus vite au périhélie (point le plus proche) qu’à l’aphélie.
Exemple — Mars : demi-grand axe a = 227,9 × 10⁶ km, excentricité e = 0,0934, donc b = a × √(1−e²) = 227,9 × √(1−0,00872) ≈ 226,9 × 10⁶ km. Aire de l’orbite = π × 227,9 × 226,9 × 10¹² ≈ 162 200 × 10¹² km².
Optique : miroirs elliptiques
Un miroir de forme elliptique a la propriété remarquable de concentrer tout rayon lumineux partant du foyer F1 vers le second foyer F2. Cette propriété est exploitée dans :
- Les lits d’hôpitaux de lithotripsie (brisage des calculs rénaux par ondes de choc focalisées)
- Les salles des murmures (whisper galleries) : son émis en F1 est entendu distinctement en F2
- Certains réflecteurs d’éclairage de phares automobiles ou de projecteurs de scène
Médecine : sections tomographiques
Les coupes transversales du thorax humain en scanner sont approximativement elliptiques. Pour un patient de morphologie moyenne : a ≈ 18 cm, b ≈ 15 cm. Section thoracique = π × 18 × 15 ≈ 848 cm². Ce calcul intervient dans le calibrage des doses de radiation en radiothérapie et dans le dimensionnement des salles d’IRM.
Démonstration de la formule A = π × a × b
La démonstration la plus élégante repose sur une transformation affine. Le cercle de rayon a a une équation x²/a² + y²/a² = 1 et une aire πa². L’ellipse d’équation x²/a² + y²/b² = 1 s’obtient en appliquant une dilatation d’axe y de rapport b/a. Cette transformation multiplie toutes les aires par b/a.
Aire ellipse = Aire cercle × (b/a) = πa² × (b/a) = π × a × b.
Cette démonstration montre que la formule est exacte — pas une approximation — et qu’elle s’étend à toute section de cylindre oblique ou de cône (coniques).
Tableau de référence : aires d’ellipses courantes
| a (cm) | b (cm) | Aire (cm²) | Excentricité | % du rectangle |
|---|---|---|---|---|
| 5 | 5 | 78,54 | 0,000 (cercle) | 78,5 % |
| 8 | 5 | 125,66 | 0,781 | 78,5 % |
| 10 | 6 | 188,50 | 0,800 | 78,5 % |
| 10 | 3 | 94,25 | 0,954 | 78,5 % |
| 15 | 10 | 471,24 | 0,745 | 78,5 % |
| 20 | 15 | 942,48 | 0,661 | 78,5 % |
Note : le rapport Aire/Aire_rectangle = π/4 ≈ 78,5 % est constant, quelle que soit l’ellipse.
Périmètre de l'ellipse : approximations de Ramanujan
Contrairement à l'aire (formule exacte A = πab), le périmètre d'une ellipse n'a pas de formule exacte fermée. Il s'exprime sous forme d'intégrale elliptique. Les meilleures approximations pratiques :
- Ramanujan 1 (1914) : P ≈ π × (3(a+b) − √((3a+b)(a+3b))). Pour a=10, b=6 : P ≈ π×(48 − √(36×28)) = π×(48 − √1008) ≈ π×(48−31,75) ≈ 51,05 cm. Erreur < 0,5% pour e < 0,9.
- Ramanujan 2 (1914) : P ≈ π(a+b)(1 + 3h/(10+√(4−3h))) avec h = ((a−b)/(a+b))². Plus précise, erreur < 0,001% même pour des ellipses très allongées.
Pour un cercle (a = b = r) : Ramanujan 1 → h=0, P = π×(3×2r − √(4r×4r)) = π(6r−4r) = 2πr. ✓
Applications supplémentaires : stades et arches
Les stades d'athlétisme ont une forme elliptique (ou deux demi-cercles reliés par des droites, un « stade » au sens géométrique). Le Stade de France (93210 Saint-Denis) a une forme proche d'une ellipse de a ≈ 120 m et b ≈ 100 m. Aire ellipse ≈ π×120×100 ≈ 37 699 m². En réalité c'est un ovale tronqué, mais le calcul d'ellipse donne une approximation utile pour l'estimation de surface de pelouse (environ 7 000 m² de gazon réel à l'intérieur).
Les arches en plein cintre elliptique sont utilisées dans les tunnels ferroviaires. Un tunnel de section semi-elliptique avec demi-grand axe horizontal a = 6 m et demi-petit axe vertical b = 4,5 m : section = π×6×4,5/2 ≈ 42,41 m². Le volume excavé par kilomètre = 42 410 m³. À 250 €/m³ de terrassement souterrain = 10,6 millions € au km.
Questions frequentes
Quelle est la formule de l'aire d'une ellipse ?
A = pi x a x b, ou a et b sont les demi-axes. C'est une formule exacte.
Comment mesurer les demi-axes d'une ellipse ?
Mesurez le grand diametre et le petit diametre, puis divisez chacun par 2. a = grand_diam/2, b = petit_diam/2.
Quelle est la difference entre aire et perimetre d'une ellipse ?
L'aire a une formule exacte (pi x a x b). Le perimetre n'en a pas : il necessite une approximation.
Comment calculer l'aire d'un demi-ellipse ?
A_demi = pi x a x b / 2. C'est aussi l'equation d'un stade ou d'une voute semi-elliptique.
Quelle est l'excentricite d'une ellipse ?
e = racine(1 - (b/a)2). Pour un cercle : e=0. Valeur proche de 1 : ellipse tres allongee. L'orbite terrestre a e=0,0167.
