Calculateur Écart-type et Variance — Statistiques Descriptives
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📌 En bref : Écart-type σ = √[Σ(xi−μ)²/N]. Variance = σ². Échantillon : diviseur N−1 (Bessel). Règle 68-95-99,7 : 68% des valeurs dans [μ±σ] pour une distribution normale.
Calculateur Écart-type et Variance
Écart-type et variance : définitions et formules
La variance mesure la dispersion des données autour de la moyenne : σ² = Σ(xi − x̄)² / N (population) ou s² = Σ(xi − x̄)² / (N−1) (échantillon). L'écart-type est la racine carrée de la variance, exprimé dans la même unité que les données.
Population vs échantillon
| Paramètre | Population (σ) | Échantillon (s) |
|---|---|---|
| Formule variance | Σ(xi−μ)²/N | Σ(xi−x̄)²/(N−1) |
| Usage | Données complètes connues | Inférence sur une population |
| Diviseur | N | N−1 (correction Bessel) |
La correction de Bessel (N−1) compense le biais de l'estimation de la variance d'une population depuis un échantillon. Pour N grand (>30), la différence est négligeable.
Interprétation de l'écart-type
Pour une distribution normale : 68% des valeurs sont dans [μ±σ], 95% dans [μ±2σ], 99,7% dans [μ±3σ]. C'est la "règle empirique 68-95-99,7".
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Questions fréquentes
Quelle est la différence entre écart-type et variance ?
La variance (σ²) est la moyenne des carrés des écarts. L'écart-type (σ) est sa racine carrée. L'écart-type est préféré en pratique car il est dans la même unité que les données (cm, kg, €...). La variance est utile pour les calculs (propriété d'additivité des variances des variables indépendantes).
Comment interpréter un coefficient de variation ?
Le coefficient de variation (CV) = écart-type / moyenne × 100%. Il permet de comparer la dispersion de séries ayant des unités différentes. CV < 15% : faible dispersion. 15-35% : dispersion modérée. > 35% : forte dispersion. Exemple : CV salaires = 45% → forte inégalité salariale.
L'écart-type est-il sensible aux valeurs aberrantes ?
Très sensible. Une seule valeur extrême peut multiplier l'écart-type par 2-3. Pour les données avec aberrants, préférez l'écart interquartile (IQR = Q3-Q1) ou l'écart absolu médian (MAD = médiane des |xi - médiane|). R et Python ont des fonctions robustes (mad(), iqr()).
Comment l'écart-type s'utilise-t-il en finance ?
En finance, l'écart-type des rendements = volatilité. Un actif avec rendement moyen 8%/an et σ=15% a une plage de rendement probable (68%) de -7% à +23%. C'est la base du modèle de Markowitz (portefeuille optimal) et du ratio de Sharpe (rendement excédentaire / volatilité).
3 exemples concrets de calcul d'écart-type
Exemple 1 — Notes d'un groupe. Série : 8, 11, 12, 15, 14, 10. Moyenne : x̄ = 70/6 ≈ 11,67. Variance : [(8−11,67)²+(11−11,67)²+(12−11,67)²+(15−11,67)²+(14−11,67)²+(10−11,67)²]/6 ≈ [13,45+0,45+0,11+11,09+5,43+2,79]/6 ≈ 5,55. σ ≈ 2,35. Ces notes sont assez dispersées.
Exemple 2 — Contrôle qualité. Pièces mesurées : 10,02 / 9,98 / 10,01 / 9,99 / 10,00 cm. σ ≈ 0,015 cm. Coefficient de variation : 0,015/10,00 = 0,15% — excellent pour une production industrielle.
Exemple 3 — Météo. Températures maximales sur 7 jours : 18, 22, 25, 19, 23, 21, 20°C. x̄ = 21,14°C. σ ≈ 2,19°C. Plage [μ±σ] = [18,95 ; 23,33] contient 5/7 = 71% des valeurs, cohérent avec la règle des 68%.
3 erreurs fréquentes avec l'écart-type
Erreur 1 — Utiliser N au lieu de N−1 pour un échantillon. La correction de Bessel (diviseur N−1) compense le biais. Pour un échantillon de 5 valeurs, l'erreur est de 10% si on utilise N. Toujours distinguer : σ (population complète connue) vs s (estimation depuis un échantillon).
Erreur 2 — Interpréter σ comme la valeur maximale d'écart. L'écart-type est une mesure de dispersion moyenne, pas un maximum. Des valeurs peuvent s'écarter de 3σ ou plus (surtout pour des distributions non normales).
Erreur 3 — Comparer des écarts-types de variables d'unités différentes. Pour comparer la dispersion de tailles (cm) et de poids (kg), utiliser le coefficient de variation CV = σ/μ × 100% (sans unité). Un σ de 5 kg peut être "petit" pour des adultes mais σ = 5 cm est "grand" pour des souliers de la même pointure.
L'écart-type est-il au programme du bac ?
Oui. L'écart-type (σ ou s) et la variance sont au programme de mathématiques de Première et Terminale (BO 2020, statistiques et probabilités). En Terminale, on aborde la loi normale, l'intervalle de confiance et les tests d'hypothèses qui utilisent directement l'écart-type. Conforme au programme Éduscol. La calculatrice Casio FX-92 ou TI-Collège calcule directement σ et σn-1.
Quelle est la différence entre écart-type et écart interquartile ?
L'écart-type σ utilise toutes les données et est sensible aux valeurs extrêmes. L'écart interquartile IQR = Q3 − Q1 est robuste aux valeurs aberrantes (il ne considère que les 50% centraux). Pour des données asymétriques (revenus, temps de réponse web, prix immobiliers), l'IQR est plus représentatif. La boîte à moustaches (boxplot) visualise Q1, médiane, Q3 et les valeurs extrêmes.
