Calculez le logarithme décimal (log₁₀), naturel (ln) et binaire (log₂) d'un nombre. Changement de base, propriétés et applications.
Calculateur
Définition et propriétés du logarithme
Le logarithme en base b de x est l'exposant auquel il faut élever b pour obtenir x : logb(x) = y ⟺ bʸ = x. Le logarithme naturel (ln) est en base e ≈ 2,71828 (nombre d'Euler). Le logarithme décimal (log₁₀) est la base utilisée en sciences et en ingénierie.
La formule de changement de base permet de calculer tout logarithme à partir du logarithme naturel ou décimal : logb(x) = ln(x)/ln(b) = log₁₀(x)/log₁₀(b). Ainsi log₅(25) = ln(25)/ln(5) = 3,2189/1,6094 = 2 (car 5² = 25).
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Applications en sciences
pH : pH = -log₁₀([H⁺]) — le pH d'une solution est le logarithme négatif de la concentration en ions hydronium
Décibels : dB = 10×log₁₀(P/P₀) — l'échelle sonore est logarithmique
Magnitude stellaire : Δm = -2,5×log₁₀(F₁/F₂) — le système de Pogson
Richter : chaque degré = 10× plus d'amplitude, soit 31,6× plus d'énergie (log₁₀)
Logarithme et temps de doublement
La règle du 72 (approximation) : le temps de doublement d'un capital à taux t% est approximativement 72/t. La formule exacte est ln(2)/ln(1+t) ≈ 0,693/t (pour t petit). Pour t=5 % : ln(2)/ln(1.05) = 14,2 ans (règle du 72 donne 72/5 = 14.4 ans).
3 exemples concrets
Exemple 1 — pH d'une solution acide
Une solution a une concentration en ions H⁺ de [H⁺] = 0,001 mol/L = 10⁻³ mol/L.
Un son a une intensité P = 10⁻⁴ W/m². L'intensité de référence P₀ = 10⁻¹² W/m².
dB = 10 × log₁₀(P/P₀) = 10 × log₁₀(10⁻⁴/10⁻¹²) = 10 × log₁₀(10⁸) = 10 × 8 = 80 dB.
Chaque multiplication de l'intensité par 10 ajoute 10 dB. Un son de 90 dB est 10 fois plus intense qu'un son de 80 dB.
Exemple 3 — Temps de doublement d'un capital
Un capital placé à 5% par an en intérêts composés. En combien d'années double-t-il ?
2C = C × (1,05)ⁿ → 2 = (1,05)ⁿ → n = log(2)/log(1,05) = ln(2)/ln(1,05) = 0,693/0,04879 ≈ 14,2 ans.
La règle du 72 donne 72/5 = 14,4 ans (bonne approximation).
3 erreurs fréquentes
Erreur
Problème
Correction
log(a + b) = log(a) + log(b)
Confond somme et produit
log(a×b) = log(a) + log(b). Pour la somme, il n'existe pas de simplification
Calcule log(-5)
Logarithme d'un négatif
log(x) n'existe pas pour x ≤ 0 dans les réels. Toujours vérifier x > 0
1/log(x) = log(1/x)
Confond inverse et opposé
log(1/x) = −log(x) (opposé). 1/log(x) est l'inverse mathématique, différent de −log(x)
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre log et ln ?
log₁₀ (log décimal) est la base 10 : log₁₀(1000) = 3. ln (logarithme naturel) est la base e ≈ 2,718 : ln(e) = 1. En mathématiques pures, 'log' désigne souvent ln. En ingénierie et chimie, 'log' désigne log₁₀. Vérifiez toujours le contexte.
Pourquoi le logarithme n'existe-t-il pas pour les nombres négatifs ?
Aucun exposant réel ne donne un nombre négatif : bˣ > 0 pour tout b>0 et x réel. Dans l'ensemble des complexes, ln(-1) = iπ (formule d'Euler : e^(iπ) = -1), mais cela sort du cadre réel.
Comment le logarithme est-il utilisé en informatique ?
En algorithmique, la complexité O(log n) est très efficace (recherche dichotomique, arbres binaires équilibrés). La taille d'un fichier compressé dépend de l'entropie de Shannon H = -Σ p(x) log₂ p(x). Les bases de données utilisent des B-trees de hauteur logarithmique.
Quelle est la valeur de log₂(1 000 000) ?
log₂(10⁶) = 6 × log₂(10) = 6 × 3,32193 = 19,93. En pratique, il faut environ 20 bits pour représenter 1 million d'états différents (2²⁰ = 1 048 576 > 1 000 000).
Le logarithme peut-il être négatif ?
Oui, si 0 < x < 1 : log₁₀(0,01) = -2 ; ln(0,5) = -0,693. Le logarithme est nul pour x=1 (log(1)=0) et non défini pour x≤0.
Quelle est la dérivée du logarithme ?
La dérivée de ln(x) est 1/x. La dérivée de log₁₀(x) est 1/(x×ln(10)) ≈ 1/(x×2,303). En pratique : si f(x) = ln(u(x)), alors f'(x) = u'(x)/u(x). Exemple : si f(x) = ln(3x²+1), f'(x) = 6x/(3x²+1). C'est l'une des dérivées les plus utilisées en terminale et en CPGE.
Au programme de quelle classe est le logarithme ?
Le logarithme décimal (log₁₀) est abordé en Seconde et Première via le pH et les décibels. Le logarithme naturel (ln) et sa dérivée sont au programme de Terminale Spécialité Mathématiques (BO 2019). La propriété ln(a×b) = ln(a)+ln(b) et la résolution d'équations exponentielles (e^x = k → x = ln(k)) sont exigibles au baccalauréat.
Comment résoudre l'équation 3^x = 100 avec le logarithme ?
On applique le logarithme des deux membres : ln(3^x) = ln(100) → x × ln(3) = ln(100) → x = ln(100)/ln(3) = 4,6052/1,0986 ≈ 4,19. Vérification : 3^4,19 ≈ 100 ✓. On peut aussi utiliser log₁₀ : x = log₁₀(100)/log₁₀(3) = 2/0,4771 ≈ 4,19 (même résultat — indépendant de la base choisie).
Échelles logarithmiques dans les sciences
Le logarithme est omniprésent dans les grandeurs physiques et chimiques parce que les phénomènes naturels varient sur des ordres de grandeur gigantesques. Une échelle linéaire serait illisible : l'échelle logarithmique comprime ces variations en valeurs maniables.
Grandeur
Formule
Exemple concret
Valeur log
pH (acidité)
pH = −log₁₀([H⁺])
Eau pure : [H⁺] = 10⁻⁷ mol/L
pH = 7
Décibels (bruit)
dB = 10 × log₁₀(I/I₀)
Conversation normale : I = 10⁶ × I₀
60 dB
Échelle de Richter
M = log₁₀(A/A₀)
M7 libère 31,6× plus d'énergie que M6
Différence = log₁₀(31,6) ≈ 1,5
Magnitude stellaire
m₁−m₂ = −2,5 × log₁₀(F₁/F₂)
Sirius (m=−1,46) vs Soleil (m=−26,7)
Flux Soleil : 10^((26,7−1,46)/2,5) ≈ 10¹⁰
Datation C-14
t = −τ × ln(N/N₀)
Activité réduite à 50% → t ≈ 5730 ans
ln(0,5) = −0,693 → ×8267 ans
Gain amplificateur
G = 20 × log₁₀(Vs/Ve)
Vs/Ve = 1000 → G = 60 dB
log₁₀(1000) = 3
Dans tous ces cas, une différence de 1 sur l'échelle logarithmique correspond à un facteur 10 (ou e, selon la base utilisée) sur la grandeur physique réelle. C'est pourquoi un séisme de magnitude 8 est 10 fois plus puissant qu'un séisme de magnitude 7, et non pas « 1 unité de plus ».
Résoudre des équations exponentielles et logarithmiques
La résolution d'équations faisant intervenir des exposants ou des logarithmes suit une méthode systématique en 3 étapes.
Méthode : équation exponentielle aˣ = b
1. Passer au logarithme : ln(aˣ) = ln(b) → x·ln(a) = ln(b) 2. Isoler x : x = ln(b)/ln(a) = log_a(b) 3. Calculer numériquement : x = ln(b)/ln(a) Exemple : 5^x = 200 → x = ln(200)/ln(5) = 5,298/1,609 ≈ 3,29
Méthode : équation logarithmique log(x) = k
1. Exponentier : 10^(log₁₀(x)) = 10^k → x = 10^k (si base 10) 2. Pour ln : x = e^k Exemple : ln(x) = 2,5 → x = e^2,5 ≈ 12,18
Piège classique : équation log(x) + log(x−3) = 1
Regrouper : log(x(x−3)) = 1 → x(x−3) = 10 → x²−3x−10 = 0 → x = 5 ou x = −2. Vérifier le domaine : x > 0 et x−3 > 0 → x > 3. Seule solution valide : x = 5. L'oubli de la vérification du domaine est la principale source d'erreur.
Comment utiliser les proprietes des logarithmes pour simplifier un calcul complexe ?
Trois proprietes fondamentales : ln(a x b) = ln(a) + ln(b), ln(a/b) = ln(a) - ln(b), ln(a^n) = n x ln(a). Exemple concret : calculer ln(48). Decomposez : 48 = 16 x 3 = 2⁴ x 3. Donc ln(48) = 4.ln(2) + ln(3) = 4 x 0,693 + 1,099 = 3,871. Verification : ln(48) = 3,871 (exact). Changement de base : log_b(x) = ln(x) / ln(b). Exemple : log_2(1024) = ln(1024) / ln(2) = 6,931 / 0,693 = 10. Verification : 2^10 = 1024. Ces proprietes transforment des multiplications en additions, principe historique des tables de logarithmes.
Quelles sont les applications concretes des logarithmes dans la vie courante ?
Le logarithme mesure les ordres de grandeur. Applications reelles : 1) Echelle de Richter (seismes) : un seisme de magnitude 6 libere 31,6 fois plus d'energie qu'un seisme de magnitude 5 (echelle logarithmique en base 10). 2) Decibels (son) : 10 dB = x10 en intensite, 20 dB = x100, 30 dB = x1000. Une conversation (60 dB) est un million de fois plus intense que le seuil d'audibilite (0 dB). 3) pH (chimie) : pH = -log[H+]. pH 3 est 100 fois plus acide que pH 5. 4) Finance : temps de doublement d'un placement = ln(2) / ln(1 + taux) = 0,693 / taux (approxime par la regle de 72).
Pour aller plus loin : calculatrice scientifique recommandée
Casio fx-92+ College - modèle autorisé au brevet et bac. Bien noté et accessible.
