Les fondamentaux du dénombrement
Le dénombrement étudie le nombre de façons de choisir ou d'arranger des éléments. Quatre opérations de base :
- Permutation : ordonner tous les n éléments → n! façons (ex: 5 personnes dans 5 sièges = 5! = 120)
- Arrangement A(n,k) : choisir k éléments parmi n ET les ordonner → n!/(n-k)!
- Combinaison C(n,k) : choisir k éléments parmi n SANS tenir compte de l'ordre → n!/(k!(n-k)!)
- Coefficient binomial : C(n,k) est aussi noté "n choisit k" ou Cⁿₖ, essentiel dans le triangle de Pascal
Avec ou sans répétition
Si les éléments peuvent être répétés (avec remise) : les arrangements sont nᵏ et les combinaisons C(n+k-1, k). Exemple : le nombre de codes PIN à 4 chiffres (0-9 avec répétition) est 10⁴ = 10 000. Sans répétition : A(10,4) = 10×9×8×7 = 5 040.
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Applications probabilistes
Les combinaisons sont au cœur du calcul des probabilités. La probabilité d'obtenir k succès en n essais avec une probabilité p de succès suit la loi binomiale : P(X=k) = C(n,k) × pᵏ × (1-p)^(n-k). Au loto français (5 numéros parmi 49 + 1 Chance sur 10), le nombre de grilles possibles est C(49,5) × 10 = 19 068 840.
Triangle de Pascal
Le triangle de Pascal liste les coefficients binomiaux C(n,k) ligne par ligne. Chaque valeur est la somme des deux valeurs au-dessus : C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k). Il apparaît dans le développement de (a+b)^n : (a+b)² = a² + 2ab + b² (coefficients 1, 2, 1). Ce triangle a des propriétés remarquables liées aux nombres de Fibonacci et aux fractales.
3 exemples concrets de dénombrement
Exemple 1 — Loto classique (6/49). Combien de grilles différentes au Loto français (6 numéros parmi 49) ? C(49,6) = 49!/(6! × 43!) = 13 983 816 grilles. La probabilité de trouver la bonne est 1/13 983 816 ≈ 0,0000071%. Ce calcul de combinaisons sans répétition (l'ordre des numéros ne compte pas) est l'application classique.
Exemple 2 — Code de déverrouillage (ordre important). Un code PIN de 4 chiffres (0 à 9, répétition autorisée) : 10⁴ = 10 000 possibilités. Sans répétition : A(10,4) = 10×9×8×7 = 5 040 arrangements. Si chaque chiffre ne peut apparaître qu'une fois et que l'ordre compte, il y a 5 040 codes possibles — argument pour choisir des codes avec répétitions pour augmenter la sécurité.
Exemple 3 — Équipe de 3 dans une classe de 25. Pour former un groupe de 3 élèves parmi 25 (sans tenir compte de qui est "leader") : C(25,3) = 25!/(3! × 22!) = (25 × 24 × 23) / 6 = 2 300 groupes possibles. Si les rôles sont distincts (président, secrétaire, trésorier) : A(25,3) = 25 × 24 × 23 = 13 800 arrangements.
3 erreurs fréquentes en dénombrement
Erreur 1 — Confondre arrangement et combinaison. La question clé : l'ordre compte-t-il ? "Choisir 3 gagnants d'un podium parmi 10" → arrangement A(10,3) = 720. "Choisir 3 membres d'une commission parmi 10" → combinaison C(10,3) = 120. L'oubli du facteur k! dans les combinaisons est l'erreur la plus fréquente au bac.
Erreur 2 — Oublier la répétition. "Nombre de mots de 3 lettres avec l'alphabet (26 lettres)" → avec répétition : 26³ = 17 576. Sans répétition : A(26,3) = 26×25×24 = 15 600. L'énoncé doit préciser si les éléments peuvent être répétés ou non. En cas de doute, la répétition est souvent implicite pour les codes, mots de passe, etc.
Erreur 3 — Calculer n! pour de grands n. 20! ≈ 2,4 × 10¹⁸. La plupart des calculatrices débordent au-delà de 12-13!. Utiliser la formule C(n,k) = (n × (n−1) × … × (n−k+1)) / k! permet de calculer C(100,3) = (100 × 99 × 98) / 6 = 161 700 sans jamais calculer 100!.
Tableau récapitulatif des formules
| Type | Formule | L'ordre compte ? | Répétition ? |
|---|---|---|---|
| Permutation | n! | Oui | Non |
| Arrangement A(n,k) | n!/(n−k)! | Oui | Non |
| Combinaison C(n,k) | n!/(k!(n−k)!) | Non | Non |
| Arrangement avec répétition | nᵏ | Oui | Oui |
| Combinaison avec répétition | C(n+k−1, k) | Non | Oui |
