Comment Calculer l'Aire d'un Polygone
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Calculez l'aire de n'importe quel polygone régulier : triangle, carré, pentagone, hexagone, octogone... Formule générale et exemples détaillés.
- Polygone régulier : A = (n × a²) / (4 × tan(π/n))
- Avec apothème : A = (périmètre × apothème) / 2
- Hexagone : A = (3√3/2) × a²
- Polygone quelconque : formule du lacet (Shoelace)
Calculateur Polygone Régulier
Formule générale du polygone régulier
Un polygone régulier est une figure géométrique à n côtés de même longueur a et de même angle. Sa surface se calcule par :
Où π/n est l'angle en radians. Cette formule s'applique à tout polygone régulier : triangle équilatéral (n=3), carré (n=4), pentagone (n=5), hexagone (n=6), etc. Pour un octogone de côté 5 cm : A = (8 × 25) / (4 × tan(22,5°)) = 200 / (4 × 0,4142) ≈ 120,71 cm².
Méthode par apothème
L'apothème est la distance perpendiculaire du centre à un côté. Pour tout polygone régulier :
L'apothème vaut a = côté / (2 × tan(π/n)). Cette méthode est particulièrement pratique en construction car on peut mesurer physiquement l'apothème.
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Formules spécifiques par polygone
| Polygone | Côtés | Formule aire | Exemple (côté=6) |
|---|---|---|---|
| Triangle équilatéral | 3 | A = (√3/4) × a² | A ≈ 15,59 cm² |
| Carré | 4 | A = a² | A = 36 cm² |
| Pentagone | 5 | A ≈ 1,720 × a² | A ≈ 61,94 cm² |
| Hexagone | 6 | A = (3√3/2) × a² | A ≈ 93,53 cm² |
| Octogone | 8 | A = 2(1+√2) × a² | A ≈ 173,82 cm² |
Polygone quelconque : la formule du lacet
Pour un polygone dont on connaît les coordonnées des sommets (x₁,y₁), (x₂,y₂)... (xₙ,yₙ), la formule de Gauss (ou du lacet) donne l'aire exacte :
Cette formule est utilisée en informatique graphique, en cartographie et en cadastre. Elle fonctionne pour tout polygone simple (sans auto-intersection), qu'il soit convexe ou concave.
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Questions fréquentes
Quelle est la formule de l'aire d'un polygone régulier ?
A = (n × a²) / (4 × tan(π/n)), où n est le nombre de côtés et a la longueur d'un côté. Alternativement : A = (périmètre × apothème) / 2.
Comment calculer l'aire d'un polygone quelconque ?
Utilisez la formule du lacet (Shoelace) avec les coordonnées de chaque sommet : A = |Σ(xᵢ×yᵢ₊₁ − xᵢ₊₁×yᵢ)| / 2. Pour les polygones simples, on peut aussi les découper en triangles.
Quelle est l'aire d'un hexagone régulier ?
A = (3√3/2) × a² ≈ 2,598 × a². Pour a=5 cm : A ≈ 64,95 cm². Un hexagone peut aussi être calculé comme 6 triangles équilatéraux de même côté.
L'apothème sert-il à calculer l'aire d'un polygone ?
Oui : A = (n × a × apothème) / 2 = (périmètre × apothème) / 2. L'apothème d'un polygone régulier de côté a est : apothème = a / (2 × tan(π/n)).
Comment calculer l'aire d'un pentagone régulier ?
A = (5 × a²) / (4 × tan(36°)) ≈ 1,720 × a². Pour a=8 cm : A ≈ 110,1 cm². Notre calculateur le calcule en sélectionnant "5 côtés" dans le menu.
Comment calculer l'aire d'un polygone concave (non convexe) ?
La formule du lacet (Shoelace) s'applique à tout polygone simple, convexe ou concave. Les coordonnées des sommets doivent être listées dans un ordre cohérent (sens trigonométrique ou horaire). Si le polygone s'auto-intersecte, la formule donne l'aire algébrique, pas l'aire géométrique.
Quelle est la relation entre l'apothème et le rayon inscrit d'un polygone ?
L'apothème d'un polygone régulier est exactement le rayon du cercle inscrit (tangent à tous les côtés). Sa formule est : apothème = a / (2 × tan(π/n)). Le rayon circonscrit (cercle passant par tous les sommets) est : R = a / (2 × sin(π/n)). Ces deux rayons coïncident uniquement pour le cercle (n → ∞).
Pourquoi l'aire d'un polygone régulier augmente-t-elle avec le nombre de côtés ?
À périmètre fixé, l'aire d'un polygone régulier augmente avec n et tend vers l'aire du cercle inscrit dans ce périmètre. Pour P = 12 cm : carré (n=4) → A=9 cm², hexagone (n=6) → A≈10,39 cm², cercle (n→∞) → A=11,46 cm². C'est l'inégalité isopérimétrique.
Applications concrètes des polygones réguliers
Nid d'abeille (hexagone) : Les alvéoles d'une ruche sont des hexagones réguliers. Ce n'est pas un hasard : à périmètre égal, l'hexagone est la forme polygonale qui maximise l'aire (après le cercle), permettant de stocker le maximum de miel avec le minimum de cire. Aire d'une alvéole de côté 3 mm : A = (3√3/2) × 9 ≈ 23,4 mm².
Carrelage : Seuls trois polygones réguliers peuvent paver le plan sans espace ni chevauchement : le triangle équilatéral (n=3), le carré (n=4) et l'hexagone (n=6). Les pentagones réguliers ne peuvent pas paver le plan, car leurs angles intérieurs (108°) ne permettent pas de compléter 360° à chaque sommet.
Architecture : Les tours octogonales (n=8) sont fréquentes en architecture médiévale. Un octogone de côté 5 m a une aire A = (2 + 2√2) × 25 ≈ 120,7 m², soit plus qu'un carré de côté 10 m (100 m²) avec un périmètre identique (40 m).
| Polygone | n | Formule aire simplifiée | Pour côté a = 10 cm |
|---|---|---|---|
| Triangle équilatéral | 3 | (√3/4) × a² | 43,30 cm² |
| Carré | 4 | a² | 100 cm² |
| Pentagone | 5 | ≈ 1,720 × a² | 172,0 cm² |
| Hexagone | 6 | (3√3/2) × a² | 259,8 cm² |
| Octogone | 8 | (2+2√2) × a² | 482,8 cm² |
| Décagone | 10 | ≈ 7,694 × a² | 769,4 cm² |
Erreurs fréquentes dans le calcul d'aire de polygone
Le calcul d'aire concentre plusieurs pièges classiques, particulièrement lors du passage des formules théoriques aux mesures réelles de terrain ou de bricolage.
Périmètre = somme des côtés (en mètres). Aire = surface enfermée (en m²). Un carré de 4 m de côté a un périmètre de 16 m mais une aire de 16 m². Pour les carrelages, on calcule l'aire (m²). Pour les plinthes, on calcule le périmètre (ml). Les deux quantités n'ont pas les mêmes unités et ne sont pas interchangeables.
Multiplier des mesures dans des unités différentes (10 cm × 2 m) donne un résultat incorrect sans conversion préalable. Règle : convertir en une seule unité AVANT de calculer. 10 cm × 2 m = 0,10 m × 2 m = 0,20 m². L'erreur la plus fréquente est de mélanger cm et m sur un même chantier.
Pour un parallélogramme et un trapèze, la hauteur est la distance perpendiculaire entre les deux bases, pas la longueur du côté oblique. Si le côté oblique mesure 5 m mais que la hauteur perpendiculaire est 4 m, l'aire utilise 4 m. Cette erreur peut représenter 20 à 30% de différence selon l'inclinaison.
Un terrain en L, une pièce avec alcôve, un parquet avec dégagement ne correspondent à aucune formule directe. Méthode : décomposer en rectangles et triangles simples, calculer chaque partie séparément, puis additionner (ou soustraire si on découpe dans un rectangle englobant).
