Résolution Équation Degré 2 — Discriminant et Racines
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📌 En bref : Δ = b²−4ac. Δ>0 : deux racines réelles. Δ=0 : racine double. Δ<0 : racines complexes. Viète : x₁+x₂=−b/a, x₁×x₂=c/a.
Résolution Équation du Second Degré ax² + bx + c = 0
Méthode de résolution de l'équation ax² + bx + c = 0
La résolution de l'équation du second degré repose sur le discriminant Δ = b² − 4ac :
- Δ > 0 : deux racines réelles distinctes x₁,₂ = (−b ± √Δ) / 2a
- Δ = 0 : racine double x₀ = −b / 2a
- Δ < 0 : deux racines complexes conjuguées z₁,₂ = (−b ± i√|Δ|) / 2a
Relations de Viète
Pour ax² + bx + c = 0, si x₁ et x₂ sont racines : x₁ + x₂ = −b/a et x₁ × x₂ = c/a. Utile pour vérifier les racines sans les calculer explicitement.
Exemples classiques
| Équation | Δ | Racines |
|---|---|---|
| x² − 5x + 6 = 0 | 1 | x = 2 et x = 3 |
| x² − 4x + 4 = 0 | 0 | x = 2 (double) |
| x² + x + 1 = 0 | −3 | complexes |
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Questions fréquentes
Peut-on résoudre x² + bx + c = 0 sans formule ?
Oui, par décomposition en facteurs. Cherchez deux nombres dont la somme est b et le produit est c. Exemple : x² − 5x + 6 : cherchez a+b=−5 et ab=6 → (−2)+(−3) et (−2)×(−3) → (x−2)(x−3)=0 → x=2 ou x=3. Méthode rapide pour les équations à coefficients entiers.
Qu'est-ce que la forme canonique d'un trinôme ?
a(x−α)²+β où α=−b/(2a) est l'abscisse du sommet et β=−Δ/(4a) est l'ordinate du sommet. Exemple : x²−4x+3 = (x−2)²−1. Utile pour identifier le minimum/maximum et les symétries de la parabole.
Comment résoudre ax⁴ + bx² + c = 0 ?
Substitution u=x² transforme en au²+bu+c=0. Résolvez pour u, puis x=±√u si u≥0. Exemple : x⁴−5x²+4=0 → u²−5u+4=0 → (u−4)(u−1)=0 → u=4 ou u=1 → x=±2 ou x=±1. Quatre solutions réelles.
Les équations du 2e degré ont-elles des applications pratiques ?
Oui, nombreuses : (1) Balistique : hauteur h(t) = -½gt² + v₀t + h₀, chercher quand h=0 donne la durée de vol. (2) Finance : valeur présente d'un flux VAN = 0, calcul du TIR. (3) Physique : circuits RLC, optique géométrique. (4) Algorithmes : calcul des intersections dans les jeux vidéo (collision cercle-droite).
Comment utiliser les relations de Viète pour contrôler ses racines ?
Si x₁ et x₂ sont les deux racines de ax² + bx + c = 0, alors : x₁ + x₂ = −b/a et x₁ × x₂ = c/a. Exemple : 2x² − 7x + 3 = 0 → x₁ + x₂ = 7/2 = 3,5 et x₁ × x₂ = 3/2 = 1,5. Si vous trouvez x₁ = 0,5 et x₂ = 3 : 0,5 + 3 = 3,5 ✓ et 0,5 × 3 = 1,5 ✓. Ces vérifications permettent de détecter une erreur de calcul immédiatement.
Le discriminant peut-il être négatif ? Que se passe-t-il ?
Oui. Si Δ = b² − 4ac < 0, l'équation n'a pas de solution réelle mais deux solutions complexes conjuguées : x = (−b ± i√|Δ|) / (2a). Exemple : x² + x + 1 = 0 → Δ = 1 − 4 = −3 → x = (−1 ± i√3) / 2. Les solutions complexes sont essentielles en électronique (impédances, circuits oscillants) et en traitement du signal. La parabole ne coupe pas l'axe des x.
Comment factoriser un trinôme quand on connaît les racines ?
Si x₁ et x₂ sont les racines de ax² + bx + c, alors : ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Exemple : x² − 5x + 6 = 0 donne x₁ = 2, x₂ = 3 → factorisation : (x − 2)(x − 3). Utile pour résoudre des inéquations : (x − 2)(x − 3) > 0 est positive quand x < 2 ou x > 3 (étude du signe par tableau de valeurs).
