Calculatrice Fractions — Opérations et Simplification Automatique
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📌 En bref : Addition : (ad+bc)/bd. Multiplication : (ac)/(bd). Division : (ad)/(bc). Simplification automatique par le PGCD. Résultat en fraction irréductible + décimal.
Calculatrice de Fractions
Opérations sur les fractions : règles fondamentales
| Opération | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Addition | a/b + c/d = (ad+bc)/bd | 1/3 + 1/4 = 7/12 |
| Soustraction | a/b − c/d = (ad−bc)/bd | 3/4 − 1/3 = 5/12 |
| Multiplication | a/b × c/d = ac/bd | 2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/2 |
| Division | a/b ÷ c/d = a/b × d/c = ad/bc | 2/3 ÷ 4/5 = 10/12 = 5/6 |
Simplification des fractions (PGCD)
Pour simplifier une fraction a/b : diviser numérateur et dénominateur par leur PGCD. Exemple : 12/18 → PGCD(12,18)=6 → 2/3. Cette calculatrice simplifie automatiquement le résultat.
Comment additionner des fractions avec dénominateurs différents ?
Trouver le PPCM des dénominateurs, convertir, additionner les numérateurs. 3/8 + 5/12 : PPCM(8,12) = 24. 9/24 + 10/24 = 19/24. Pour la soustraction : 7/6 - 2/9 = 21/18 - 4/18 = 17/18.
Comment convertir un nombre décimal périodique en fraction ?
Si x = 0,272727... → 100x = 27,2727... → 99x = 27 → x = 27/99 = 3/11. Pour 0,1666... : 10x = 1,666..., 10x - 1 = 2/3, donc x = 1/6. Une fraction donne un décimal fini ssi le dénominateur (irréductible) ne contient que des facteurs 2 et 5.
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3 exemples concrets par opération
Addition : 2/5 + 3/7
PPCM(5,7) = 35. 2/5 = 14/35 ; 3/7 = 15/35.
14/35 + 15/35 = 29/35. Irréductible (PGCD(29,35) = 1).
Multiplication : 3/4 × 8/9
3 × 8 = 24 ; 4 × 9 = 36. Fraction brute : 24/36.
PGCD(24,36) = 12. Résultat : 2/3.
Division : (5/6) ÷ (10/3)
On inverse la seconde fraction : 5/6 × 3/10 = 15/60.
PGCD(15,60) = 15. Résultat : 1/4.
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3 erreurs fréquentes
| Opération | Erreur courante | Correction |
|---|---|---|
| Addition | 1/3 + 1/4 = 2/7 (additionne num. ET den.) | Trouver le PPCM (12), puis 4/12 + 3/12 = 7/12 |
| Division | Divise directement : (5/6)/(2/3) = 5/6 × 2/3 | Inverser le diviseur : 5/6 × 3/2 = 15/12 = 5/4 |
| Simplification | Simplifie seulement le numérateur : 6/8 → 3/8 | Diviser num. ET den. par le PGCD : 6/8 → ÷2 → 3/4 |
Questions fréquentes
Comment convertir une fraction en décimal et vice-versa ?
Fraction → décimal : diviser numérateur par dénominateur (3/8 = 0,375). Décimal → fraction : multiplier par 10^n pour éliminer les décimales (0,375 = 375/1000 = 3/8 après simplification par PGCD = 125). Pour un décimal périodique (1/3 = 0,333...), la fraction ne peut être représentée exactement en décimal fini.
Qu'est-ce qu'une fraction irréductible ?
Une fraction a/b est irréductible quand PGCD(a,b)=1 (numérateur et dénominateur n'ont pas de diviseur commun autre que 1). Exemple : 7/12 est irréductible (PGCD=1). 6/10 = 3/5 après division par 2. Toute fraction admet une représentation irréductible unique.
Comment additionner des fractions avec des dénominateurs différents ?
On réduit au dénominateur commun = PPCM(d1,d2). Exemple : 1/3 + 1/4. PPCM(3,4)=12. 1/3 = 4/12, 1/4 = 3/12, somme = 7/12. La méthode produit (ad+bc)/bd donne toujours un dénominateur valide (pas toujours minimal) qu'on simplifie ensuite.
Les fractions sont-elles utilisées en programmation ?
Oui. Python a le module `fractions.Fraction` pour les calculs exacts. Exemple : Fraction(1,3) + Fraction(1,4) = Fraction(7,12). Utile pour les calculs financiers (éviter les erreurs d'arrondi des flottants), les algorithmes cryptographiques et la géométrie discrète.
Quelle est la différence entre fraction propre, impropre et nombre mixte ?
Fraction propre : numérateur < dénominateur (ex : 3/4 — valeur entre 0 et 1). Fraction impropre : numérateur ≥ dénominateur (ex : 7/4 — valeur ≥ 1). Nombre mixte : partie entière + fraction propre (ex : 1 3/4 = 7/4). Pour convertir une fraction impropre en nombre mixte : quotient entier + reste / dénominateur. Notre calculateur affiche les deux formes automatiquement.
Peut-on faire des opérations avec des fractions négatives ?
Oui, avec les règles habituelles des signes. −3/4 = 3/(−4) = −(3/4). Pour l'addition : (−1/3) + 1/2 = −2/6 + 3/6 = 1/6. Pour la multiplication : (−2/3) × (−3/4) = 6/12 = 1/2 (négatif × négatif = positif). Pour la division : (−5/6) ÷ (2/3) = −5/6 × 3/2 = −15/12 = −5/4.
Au programme de quelle classe sont les fractions et opérations ?
Les fractions sont introduites au CM1 (fraction d'un entier, fraction d'une quantité). Les opérations avec fractions (addition, multiplication) sont au programme du collège : addition en 5e, multiplication et division en 4e (BO 2015, programmes mis à jour 2018). En 3e et au lycée, les fractions algébriques (expressions avec lettres) sont utilisées dans les calculs d'expressions et la résolution d'équations.
Comment calculer une fraction d'une quantité ?
Pour calculer 3/4 de 48 : multiplier 48 × 3/4 = 144/4 = 36. Pour 2/5 de 30 km : 30 × 2/5 = 60/5 = 12 km. Règle : fraction d'une quantité = quantité × numérateur / dénominateur. Application courante : calculer un pourcentage (25% = 25/100 = 1/4 → 25% de 80 = 80/4 = 20).