Calcul volume cube et pavé droit : formules V = a³ et L×l×h en m³ (2026)
Cube : V = a³ (arête au cube). Pour a = 10 cm : V = 1 000 cm³ = 1 L. Pavé droit : V = L × l × h (longueur × largeur × hauteur). Un carton 50×40×30 cm = 60 000 cm³ = 60 L. Aire totale cube : A = 6a². Diagonale spatiale : d = a√3.
- Cube : V = a³ · A = 6a² · diagonale = a√3
- Pavé droit : V = L × l × h · toutes dimensions dans la même unité
- 1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 000 cm³ = 1 000 L
- Racine cubique inverse : a = ∛V (pour trouver l'arête)
Calculateur volume cube + pavé droit (m³, L, cm³)
Sélectionnez le solide (cube ou pavé droit), entrez vos dimensions, choisissez l'unité. Résultat instantané : volume, aire totale, diagonale spatiale, conversions m³/L/cm³ + schéma isométrique SVG.
Le cube : définition et propriétés géométriques
Le cube est un solide tridimensionnel régulier, formé de 6 faces carrées identiques, 8 sommets et 12 arêtes de même longueur a. C'est l'un des 5 solides de Platon (avec le tétraèdre, l'octaèdre, le dodécaèdre et l'icosaèdre) — solides où toutes les faces sont identiques et tous les angles polyhédriques égaux. Il vérifie la formule d'Euler pour les polyèdres convexes : F + S - A = 2 (6 + 8 - 12 = 2 ✓).
Les 4 formules principales
Aire totale (6 faces) : A = 6 × a²
Diagonale d'une face : d_face = a × √2 ≈ 1,414 × a
Diagonale spatiale : d_3D = a × √3 ≈ 1,732 × a
La formule du volume V = a³ est la plus simple de la géométrie spatiale : à 3 dimensions identiques, le volume est l'arête au cube. Elle illustre la notion fondamentale d'unité cubique en mathématiques.
Conversions d'unités de volume
| Unité | Équivalence |
|---|---|
| 1 m³ | = 1 000 dm³ = 1 000 000 cm³ = 10⁹ mm³ = 1 000 L |
| 1 dm³ | = 1 L = 1 000 cm³ = 1 000 mL |
| 1 cm³ | = 1 mL = 1 000 mm³ |
| 1 hectolitre (hL) | = 100 L = 100 dm³ = 0,1 m³ |
| 1 hectare-mètre | = 10 000 m³ (usage hydrologique) |
Tableau de référence cubes courants
| Arête | Volume | Aire totale | Diagonale 3D |
|---|---|---|---|
| 1 cm | 1 cm³ = 1 mL | 6 cm² | 1,73 cm |
| 5 cm | 125 cm³ | 150 cm² | 8,66 cm |
| 10 cm | 1 000 cm³ = 1 L | 600 cm² | 17,32 cm |
| 20 cm | 8 L | 2 400 cm² | 34,64 cm |
| 50 cm | 125 L | 1,5 m² | 86,60 cm |
| 1 m | 1 m³ = 1 000 L | 6 m² | 1,73 m |
| 2 m | 8 m³ = 8 000 L | 24 m² | 3,46 m |
Exercices corrigés (collège / lycée)
Un aquarium a la forme d'un cube de 40 cm d'arête. Combien de litres peut-il contenir ?
- V = 40³ = 64 000 cm³
- Conversion : 64 000 cm³ ÷ 1 000 = 64 L
Une boîte cubique a un volume de 27 dm³. Quelle est la longueur de son arête ?
- a = ∛27 = 3 dm = 30 cm
- Vérification : 3³ = 27 ✓
Une caisse cubique de 80 cm d'arête doit être peinte sur toutes ses faces extérieures. Quelle aire à peindre ?
- A = 6 × 80² = 6 × 6 400 = 38 400 cm² = 3,84 m²
- Si la peinture couvre 8 m²/L : il faut 0,48 L = 1 petit pot de 0,5 L.
Calculer la longueur de la diagonale d'un cube d'arête 6 cm (sommet à sommet opposé en passant par l'intérieur).
- Étape 1 (diagonale face Pythagore 2D) : df = √(6² + 6²) = √72 ≈ 8,49 cm
- Étape 2 (diagonale 3D Pythagore avec arête) : d = √(8,49² + 6²) = √108 = 6√3 ≈ 10,39 cm
- Formule directe : d = a√3 = 6 × 1,732 = 10,39 cm ✓
Le pavé droit (parallélépipède rectangle) : formule V = L × l × h
Le pavé droit — aussi appelé parallélépipède rectangle — est la généralisation du cube à 3 dimensions inégales. Formule : V = L × l × h (longueur × largeur × hauteur). Le cube est un cas particulier où L = l = h = a.
Aire totale : A = 2 × (L×l + L×h + l×h)
Diagonale spatiale : d = √(L² + l² + h²)
Applications concrètes chiffrées (m³)
| Objet | Dimensions typiques | Volume | En litres |
|---|---|---|---|
| Carton déménagement XL | 60 × 45 × 50 cm | 135 000 cm³ | 135 L |
| Carton déménagement standard | 50 × 40 × 30 cm | 60 000 cm³ | 60 L |
| Camion de déménagement 20 m³ | 5 m × 2 m × 2 m | 20 m³ | 20 000 L |
| Piscine hors-sol rectangulaire | 4 m × 2 m × 1,2 m | 9,6 m³ | 9 600 L |
| Piscine enterrée 8 × 4 m | 8 m × 4 m × 1,5 m | 48 m³ | 48 000 L |
| Aquarium 200 L | 100 × 40 × 50 cm | 200 000 cm³ | 200 L |
| Brique de maçonnerie | 30 × 14,5 × 7 cm | 3 045 cm³ | 3,045 L |
| Container 20 pieds (volume utile) | 5,9 m × 2,35 m × 2,39 m | ≈ 33,1 m³ | 33 100 L |
Source : dimensions conventionnelles issues des normes ISO 668 (containers), ADEME (camions déménagement), fabricants piscines 2025.
Volume de gravats, de terre et de béton
En construction, la formule V = L × l × h est indispensable pour estimer les volumes à excaver ou à remplir. Exemple : une tranchée de 10 m × 0,5 m × 0,8 m = 4 m³ = 4 000 L. Avec une densité de béton de 2 400 kg/m³, cela représente 9 600 kg = 9,6 tonnes. La terre végétale pèse environ 1 600 kg/m³ (en vrac). Sable sec : 1 500 kg/m³. Gravier : 1 700 kg/m³.
6 erreurs récurrentes à éviter (pièges classiques)
- Mélanger les unités entre longueur et volume — Si l'arête est en cm, le volume est en cm³ (pas en m³). Pour convertir : 1 m = 100 cm, donc 1 m³ = 100³ = 1 000 000 cm³. Erreur fréquente : a = 50 cm → V = 50 m³ (faux). Correct : V = 50³ cm³ = 125 000 cm³ = 0,125 m³.
- Confondre diagonale d'une face et diagonale spatiale — La diagonale d'une face (Pythagore 2D) = a√2. La diagonale qui traverse l'intérieur du cube (Pythagore 3D) = a√3. Pour a = 10 cm : d_face = 14,14 cm, d_3D = 17,32 cm. Ce sont deux grandeurs différentes !
- Oublier le facteur 6 pour l'aire totale — Un cube a 6 faces, chacune de surface a². L'aire totale est 6a², non pas a² ou 6a. Erreur : "aire = a² = 100 cm²" pour un cube de 10 cm. Correct : A = 6 × 100 = 600 cm².
- Confondre 1 dm³ et 1 L — 1 dm³ = 1 L, c'est exact. Mais attention : 1 m³ ≠ 1 000 L² — la conversion correcte est 1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 L. 1 cm³ = 1 mL = 0,001 L (pas 1 L).
- Appliquer V = a³ à un pavé droit non-cubique — La formule V = a³ n'est valide que si les 3 dimensions sont ÉGALES (cube). Si L ≠ l ou L ≠ h, utiliser obligatoirement V = L × l × h. Exemple : une boîte 10 × 5 × 3 cm → V = 150 cm³ (pas 10³ = 1 000 cm³).
- Erreur sur la racine cubique inverse — Pour trouver l'arête : a = ∛V, pas V/3 ni √V. Sur calculatrice, utiliser la touche x^(1/3) ou ∛. Exemple : V = 512 cm³ → a = ∛512 = 8 cm (et non 512/3 ≈ 170 ni √512 ≈ 22,6).
FAQ — Volume du cube
Quelle est la formule du volume d'un cube ?
V = a³ (arête au cube). Pour a = 10 cm : V = 1 000 cm³ = 1 dm³ = 1 L. Pour a = 1 m : V = 1 m³ = 1 000 L. Le cube est un cas particulier du parallélépipède rectangle où les trois dimensions sont égales.
Comment calculer la diagonale d'un cube ?
Grande diagonale (sommet à sommet opposé via intérieur) : d = a × √3. Pour a = 10 cm : d = 17,32 cm. Diagonale d'une face (Pythagore 2D) : df = a × √2 = 14,14 cm pour a = 10.
Quelle est l'aire d'un cube ?
Aire totale (6 faces carrées identiques) : A = 6 × a². Pour a = 5 cm : A = 6 × 25 = 150 cm². Aire d'une face : a². Périmètre d'une face : 4a.
Combien de litres dans un cube de 1 mètre ?
1 m³ = 1 000 L exactement. Donc cube de 1 m d'arête contient 1 000 litres. Cube de 10 cm = 1 dm³ = 1 L. Cube de 1 cm = 1 mL = 0,001 L.
Comment trouver l'arête à partir du volume ?
Formule inverse : a = ∛V (racine cubique). Pour V = 27 cm³ : a = ∛27 = 3 cm. Pour V = 1 000 cm³ : a = 10 cm. Pour V = 1 m³ : a = 1 m. Sur calculatrice : touche x^(1/3) ou ∛.
Le cube est-il un polyèdre régulier ?
Oui, le cube (ou hexaèdre régulier) est l'un des 5 solides de Platon. 6 faces carrées identiques, 8 sommets, 12 arêtes. Formule d'Euler : F + S - A = 2 → 6 + 8 - 12 = 2. ✓
Comment doubler le volume d'un cube ?
L'arête doit être multipliée par ∛2 ≈ 1,2599. Doubler 1 L (cube 10 cm) → arête 12,6 cm. C'est le célèbre 'problème de la duplication du cube' (École de Délos, Platon). Impossible exactement à la règle et au compas (démontré par Pierre Wantzel en 1837).
Formule volume cube en mètres ou centimètres ?
V = a³ fonctionne dans n'importe quelle unité, à condition que toutes les arêtes soient dans la MÊME unité. a en m → V en m³. a en cm → V en cm³. 1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 000 cm³ = 10⁹ mm³.
Quelle est la masse d'un cube de béton de 1 m d'arête ?
Volume 1 m³ × densité béton standard 2 400 kg/m³ = 2 400 kg = 2,4 tonnes. Cube en bois chêne (700 kg/m³) : 700 kg. Cube en eau : 1 000 kg. Cube en plomb (11 350) : 11,35 tonnes. Masse = V × ρ (densité).
Comment calculer le volume d'un cube en programmation ?
Python : V = a ** 3 ou pow(a, 3). JavaScript : const V = a ** 3 ou Math.pow(a, 3). Pour racine cubique : Python math.pow(V, 1/3), JS Math.cbrt(V). Attention aux unités cohérentes en entrée et sortie.
Cube ou pavé droit : comment les distinguer ?
Un cube est un cas particulier de pavé droit (parallélépipède rectangle) dans lequel les 3 dimensions (longueur, largeur, hauteur) sont égales et où les 6 faces sont des carrés identiques. Pour un pavé droit général, V = L × l × h (3 valeurs distinctes). Pour un cube, comme L = l = h = a, on retrouve V = a × a × a = a³. Méthode pour reconnaître un cube : vérifier qu'au moins 3 arêtes consécutives ont la même mesure (les autres en découlent). Au programme CM2 et 6e en France : le cube est introduit avant le pavé droit comme objet familier (dé à jouer, sucre, sac à dos cubique). Le passage au pavé droit en 5e introduit la notion d'arêtes inégales.
Le cube-unité : pourquoi est-ce une base du système métrique ?
Le système international (SI) de mesure des volumes repose sur les cubes-unités : cube d'arête 1 m → 1 m³ · cube d'arête 1 dm → 1 dm³ = 1 L · cube d'arête 1 cm → 1 cm³ = 1 mL · cube d'arête 1 mm → 1 mm³. Conversions à connaître : 1 m³ = 1 000 dm³ = 10⁶ cm³ = 10⁹ mm³, soit chaque changement d'unité multiplie ou divise le volume par 1 000 (et non par 10 ou 100). Application concrète : une piscine 4 m × 3 m × 1,5 m = 18 m³ = 18 000 L. Une bouteille 33 cL = 0,33 L = 330 cm³ = cube d'environ 6,9 cm d'arête.
Quelle est la formule du volume d'un pavé droit ?
Le volume d'un pavé droit (parallélépipède rectangle) est V = L × l × h (longueur × largeur × hauteur). Toutes les dimensions doivent être dans la même unité. L'aire totale est 2×(L×l + L×h + l×h) et la diagonale spatiale d = √(L² + l² + h²). Le cube est un cas particulier du pavé droit avec L = l = h = a, d'où V = a × a × a = a³. Programme officiel : la formule V = L × l × h est introduite en 5e (BOEN 2024, cycle 4).
Comment calculer le volume d'un carton de déménagement en m³ ?
Un carton de déménagement est un pavé droit : V = L × l × h. Exemple carton standard 50 × 40 × 30 cm : V = 50 × 40 × 30 = 60 000 cm³ = 60 L = 0,06 m³. Pour estimer la capacité d'un camion (ex. 20 m³) : 20 m³ ÷ 0,06 m³/carton = environ 333 cartons standards. En pratique, on compte 15–20 % de perte d'espace liée à l'empilement irrégulier. Un déménagement T3 (80 m²) représente typiquement 25–35 m³ de volume à transporter.
Quel volume d'eau pour une piscine rectangulaire en m³ ?
V = L × l × h (la formule du pavé droit). Piscine 8 × 4 m avec profondeur moyenne 1,5 m : V = 8 × 4 × 1,5 = 48 m³ = 48 000 L. Piscine 6 × 3 m à 1,4 m de profondeur : 25,2 m³ = 25 200 L. Règle pratique : 1 m³ ≈ 1 000 L → il suffit de multiplier la longueur × la largeur × la profondeur (en mètres) pour obtenir les m³. Pour les piscines avec fond incliné, utiliser la profondeur moyenne = (profondeur petite bain + profondeur grand bain) ÷ 2.
Sources et références
- Programme officiel mathématiques cycle 4 (5e-3e) : Éducation nationale, BOEN 2024.
- Programme officiel mathématiques lycée seconde / première / terminale : Éducation nationale, BOEN 2024.
- Eléments d'Euclide, Livre XIII : démonstration que les 5 solides de Platon (cube, tétraèdre, octaèdre, dodécaèdre, icosaèdre) sont les seuls polyèdres réguliers convexes.
- Pierre Wantzel (1837) : démonstration de l'impossibilité de la duplication du cube à la règle et au compas.
- Leonhard Euler (1758) : formule des polyèdres convexes F + S - A = 2.
- Manuels collège/lycée : Bréal, Hatier, Belin, Magnard (édition 2024 conforme programmes).
- Maxicours — Volume du cube et du pavé droit (cours de référence collège, formule V = a³).
- AlloProf (Québec) — Le volume du cube (méthode d'application étape par étape).
- Mathématiques Faciles — Figures : le cube (cours interactif avec QCM).
- TPDemain (30/09/2024) — Le volume d'un cube (module pédagogique cycle 4).
- Maths et Tiques — Volumes (cours PDF) (rappel conversions dm³, cm³, mm³).
- Bibmath — Volumes des solides usuels de l'espace (formulaire complet : cube, prisme, pyramide, sphère).
Vérification : . Rédigé par Mehdi Kabbaj. Vérifié par Claire Dubois.