Trigonométrie avancée : cercle trigonométrique, fonctions inverses et applications
Le cercle trigonométrique : définition et valeurs remarquables
Le cercle trigonométrique est le cercle de rayon 1 centré à l'origine. Pour un angle θ, cos(θ) est l'abscisse du point sur le cercle, sin(θ) en est l'ordonnée. Cette définition généralise les fonctions au-delà du triangle rectangle — elles sont définies pour tous les réels. Valeurs exactes à maîtriser :
| θ (degrés) | θ (radians) | sin(θ) | cos(θ) | tan(θ) |
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30° | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | indéfini |
| 180° | π | 0 | −1 | 0 |
Fonctions trigonométriques inverses (arcsin, arccos, arctan)
Les fonctions inverses permettent de retrouver l'angle à partir d'une valeur trigonométrique. arcsin(x) donne l'angle dont le sinus est x, avec x ∈ [−1, 1] et résultat ∈ [−π/2, π/2]. arccos(x) : résultat ∈ [0, π]. arctan(x) : défini pour tout réel, résultat ∈ (−π/2, π/2).
Application concrète : on connaît la pente d'une route (10 %). Angle = arctan(0,10) ≈ 5,71°. En topographie, une dénivelé de 150 m sur 500 m de horizontal donne un angle d'inclinaison = arctan(150/500) = arctan(0,3) ≈ 16,7°.
Trigonométrie sphérique : navigation et géodésie
Sur la sphère terrestre, la trigonométrie plane ne suffit plus. La formule haversine calcule la distance entre deux points géographiques (lat₁, lon₁) et (lat₂, lon₂) :
a = sin²(Δlat/2) + cos(lat₁) × cos(lat₂) × sin²(Δlon/2)
d = 2R × arcsin(√a)
où R = 6 371 km (rayon moyen de la Terre)
Cette formule est utilisée dans tous les GPS. Un degré de latitude = 111 km environ. Un degré de longitude varie : 111 × cos(latitude) km.
Oscillations et signal : sin et cos dans la physique
Toute oscillation périodique s'écrit y(t) = A × sin(ωt + φ) où A est l'amplitude, ω la pulsation (rad/s) et φ la phase initiale. La fréquence f = ω/(2π) en Hz. La période T = 1/f. Pour un courant alternatif 50 Hz : ω = 2π × 50 ≈ 314 rad/s. La valeur efficace (RMS) d'un signal sinusoïdal est A/√2 ≈ 0,707 × A — c'est ce que votre voltmètre mesure : 230 V efficaces correspondent à une crête de 325 V.
Identités trigonométriques utiles pour les calculs
sin²θ + cos²θ = 1 (identité pythagoricienne)
tan θ = sin θ / cos θ
sin(A±B) = sinA cosB ± cosA sinB
cos(A±B) = cosA cosB ∓ sinA sinB
sin(2A) = 2 sinA cosA
cos(2A) = 1 − 2sin²A = 2cos²A − 1
sin²A = (1 − cos 2A) / 2 (linéarisation)
Comment calculer arctan(x) sans calculatrice ?
Série de Taylor : arctan(x) ≈ x − x³/3 + x⁵/5 − ... pour |x| ≤ 1. Pour |x| > 1, utilisez arctan(x) = π/2 − arctan(1/x). Cette série converge lentement. Leibniz l'a utilisée pour calculer π : π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − ... (convergence très lente). En pratique : mémorisez arctan(1) = 45°, arctan(√3) = 60°, arctan(1/√3) = 30°.
Quelle est la différence entre sin(x) et sinh(x) ?
sinh(x) = (eˣ − e⁻ˣ)/2 est le sinus hyperbolique. Il partage de nombreuses propriétés avec sin(x) mais sans périodicité. cosh(x) = (eˣ + e⁻ˣ)/2 est le cosinus hyperbolique. Ces fonctions décrivent la chaînette (forme d'un câble suspendu), certaines trajectoires en relativité restreinte, et sont utilisées en intégration (substitution hyperbolique).
Rédigé par Mehdi Kabbaj — Mars 2026.
Formules de trigonométrie — Référence complète
Définitions (triangle rectangle) : sin A = opp/hyp | cos A = adj/hyp | tan A = opp/adj
Identité fondamentale : sin²A + cos²A = 1
Conversion : rad = degrés × π/180 | degrés = rad × 180/π
Al-Kashi : c² = a² + b² − 2ab·cos(C)
Loi des sinus : a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R
Aire triangle : A = ½ × a × b × sin(C)
Duplication : sin(2A) = 2 sin A cos A | cos(2A) = cos²A − sin²A
Addition : sin(A+B) = sinA cosB + cosA sinB
Tableau valeurs remarquables du cercle trigonométrique
| Angle (°) |
Radians |
sin |
cos |
tan |
| 0° |
0 |
0 |
1 |
0 |
| 30° |
π/6 |
1/2 |
√3/2 |
1/√3 |
| 45° |
π/4 |
√2/2 |
√2/2 |
1 |
| 60° |
π/3 |
√3/2 |
1/2 |
√3 |
| 90° |
π/2 |
1 |
0 |
∞ |
| 180° |
π |
0 |
−1 |
0 |
3 exemples résolus pas à pas
Exemple 1 — Triangle rectangle : trouver tous les éléments
Problème : Triangle rectangle, angle A = 35°, hypoténuse c = 15 m. Calculer les côtés a et b, et l'angle B.
- a = c × sin(A) = 15 × sin(35°) = 15 × 0,5736 = 8,60 m
- b = c × cos(A) = 15 × cos(35°) = 15 × 0,8192 = 12,29 m
- Angle B = 90° − 35° = 55°
- Vérif Pythagore : a² + b² = 73,96 + 151,04 = 225 = 15² ✓
a = 8,60 m | b = 12,29 m | B = 55°
Exemple 2 — Triangle quelconque avec Al-Kashi
Problème : Triangle avec a = 8, b = 11, angle C = 70°. Calculer le côté c et l'aire.
- c² = a² + b² − 2ab·cos(C) = 64 + 121 − 2×8×11×cos(70°)
- c² = 185 − 176 × 0,3420 = 185 − 60,19 = 124,81
- c = √124,81 = 11,17
- Aire = ½ × a × b × sin(C) = ½ × 8 × 11 × sin(70°) = 44 × 0,9397 = 41,35 u²
c = 11,17 | Aire = 41,35 u²
Exemple 3 — Application : mesure d'une hauteur inaccessible
Problème : On mesure l'angle d'élévation d'une tour : 40° depuis le point A, 55° depuis le point B situé 30 m plus près. Calculer la hauteur h.
- Depuis A (distance d) : tan(40°) = h/d → h = d × tan(40°)
- Depuis B (distance d−30) : tan(55°) = h/(d−30)
- h = d × 0,8391 et h = (d−30) × 1,4281
- d × 0,8391 = (d−30) × 1,4281 → d(1,4281 − 0,8391) = 30 × 1,4281
- d = 42,843 / 0,589 = 72,73 m → h = 72,73 × 0,8391 = 61,04 m
Hauteur tour = 61,04 m — calcul sans accès direct
Erreurs fréquentes
❌ Erreur 1 — Calculatrice en degrés alors qu'on attend des radians (ou vice versa)
sin(30) = 0,5 si la calculatrice est en degrés. En radians, sin(30) = sin(30 rad) ≈ −0,988. Toujours vérifier le mode. En programmation (Python, JavaScript, C), les fonctions Math.sin() prennent des radians. Convertir : rad = deg × Math.PI / 180.
❌ Erreur 2 — Confondre côté opposé et hypoténuse dans sin et cos
sin(A) = côté opposé / hypoténuse. Le côté adjacent n'est pas l'hypoténuse. Mémo SOH-CAH-TOA : Sin = Opposé / Hypoténuse, Cos = Adjacent / Hypoténuse, Tan = Opposé / Adjacent. L'hypoténuse est toujours le plus long côté, face à l'angle droit.
❌ Erreur 3 — Appliquer Pythagore à un triangle non rectangle
a² + b² = c² ne vaut que si C = 90°. Pour tout autre triangle, utiliser Al-Kashi : c² = a² + b² − 2ab·cos(C). Si C = 90°, cos(90°) = 0 et on retrouve Pythagore — c'est le cas particulier.
FAQ — Trigonométrie
Quelle est la différence entre sin, cos et tan ?
Dans un triangle rectangle face à l'angle A : sin(A) = côté opposé / hypoténuse (vertical/diagonal). cos(A) = côté adjacent / hypoténuse (horizontal/diagonal). tan(A) = opposé / adjacent = sin/cos (pente). SOH-CAH-TOA.
Pourquoi tan(90°) est-il indéfini ?
tan(90°) = sin(90°)/cos(90°) = 1/0. La division par zéro est indéfinie. Géométriquement : à 90°, le côté adjacent tend vers 0 pendant que l'opposé atteint le maximum. La pente de la droite correspondante devient verticale — infinie. tan(89,99°) ≈ 5 730 ; tan(90° + ε) → −∞.
Comment mémoriser les valeurs de sin et cos pour 30°, 45°, 60° ?
Astuce des racines : sin(0°,30°,45°,60°,90°) = √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 = 0, ½, √2/2, √3/2, 1. Pour cos, lire dans l'ordre inverse. Les valeurs √1/2 = 0,5 et √2/2 ≈ 0,707 et √3/2 ≈ 0,866 sont à mémoriser absolument.
Qu'est-ce que la loi des sinus et quand l'utiliser ?
a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R (diamètre du cercle circonscrit). Utiliser quand : on connaît un côté + son angle opposé + une autre information. Ne pas utiliser si on connaît 3 côtés (Al-Kashi) ou 2 côtés + l'angle compris (Al-Kashi).
À quoi sert arcsin, arccos, arctan ?
Les fonctions inverses retrouvent l'angle depuis la valeur trigonométrique. arcsin(0,5) = 30° (car sin(30°) = 0,5). arctan(1) = 45° (car tan(45°) = 1). Application : pente d'une route de 15% → angle = arctan(0,15) ≈ 8,53°. Plage arcsin/arccos : [−1, 1]. Plage arctan : tout réel.
Trigonométrie en physique : à quoi sert sin dans les oscillations ?
Toute oscillation périodique s'écrit y(t) = A × sin(ωt + φ). A = amplitude, ω = pulsation (rad/s), φ = déphasage initial. Courant alternatif 50 Hz : ω = 2π × 50 ≈ 314 rad/s. Valeur crête 325 V → valeur efficace = 325/√2 ≈ 230 V (ce que mesure le voltmètre).
Comment calculer la distance entre deux points GPS avec la trigonométrie ?
Formule haversine : a = sin²(Δlat/2) + cos(lat₁)×cos(lat₂)×sin²(Δlon/2) ; d = 2R×arcsin(√a) avec R = 6 371 km. Paris (48,85°N, 2,35°E) → Lyon (45,75°N, 4,85°E) : d ≈ 393 km. Utilisé dans tous les GPS et applications cartographiques.
Qu'est-ce que la transformée de Fourier en trigonométrie ?
La transformée de Fourier décompose n'importe quel signal périodique en somme de sinusoïdes (sin et cos) de fréquences multiples. Exemple : un son de guitare = fondamentale + harmoniques. C'est la base du MP3, de l'IRM, du radar, du Wi-Fi. Théorème de Fourier (1822) : toute fonction périodique régulière est somme d'une infinité de sinusoïdes.
