Calcul Écart-Type — Formule & Exemples
⚡ En bref
L'écart-type (σ ou s) mesure la dispersion des données autour de la moyenne. Formule : σ = √[Σ(xi - x̄)² / n]. Pour un échantillon, divisez par n-1 au lieu de n (correction de Bessel).
🧮 Calculateur Écart-Type
Définition de l'Écart-Type
L'écart-type (en anglais standard deviation) est une mesure de la dispersion d'une série de données autour de sa moyenne. Plus l'écart-type est élevé, plus les valeurs sont dispersées.
C'est la racine carrée de la variance, ce qui lui donne l'avantage de s'exprimer dans la même unité que les données originales.
| Symbole | Signification | Contexte |
|---|---|---|
| σ (sigma) | Écart-type population | Données complètes |
| s | Écart-type échantillon | Données partielles |
| σ² | Variance population | Carré de σ |
| s² | Variance échantillon | Carré de s |
Formule Pas à Pas
Étape 1 : Calculer la moyenne (x̄)
x̄ = Σxi / n
Étape 2 : Calculer les écarts à la moyenne
Pour chaque valeur xi : (xi - x̄)
Étape 3 : Élever au carré
Pour chaque écart : (xi - x̄)²
Étape 4 : Calculer la moyenne des carrés (variance)
σ² = Σ(xi - x̄)² / n (population)
s² = Σ(xi - x̄)² / (n-1) (échantillon)
Étape 5 : Prendre la racine carrée
σ = √(σ²) ou s = √(s²)
Exemple de Calcul
Série : 4, 8, 6, 5, 3
Étape 1 : Moyenne
x̄ = (4 + 8 + 6 + 5 + 3) / 5 = 26 / 5 = 5,2
Étape 2-3 : Écarts au carré
| xi | xi - x̄ | (xi - x̄)² |
|---|---|---|
| 4 | -1,2 | 1,44 |
| 8 | 2,8 | 7,84 |
| 6 | 0,8 | 0,64 |
| 5 | -0,2 | 0,04 |
| 3 | -2,2 | 4,84 |
| Σ | 0 | 14,8 |
Étape 4-5 : Variance et écart-type
- Population : σ² = 14,8 / 5 = 2,96 → σ = √2,96 = 1,72
- Échantillon : s² = 14,8 / 4 = 3,70 → s = √3,70 = 1,92
Population vs Échantillon
| Critère | Population (σ) | Échantillon (s) |
|---|---|---|
| Diviseur | n | n - 1 |
| Quand l'utiliser | Données complètes | Sous-ensemble |
| Biais | Non biaisé | Correction de Bessel |
| Exemple | Notes de TOUS les élèves | Notes d'un groupe test |
Pourquoi n-1 ? Quand on estime la moyenne à partir d'un échantillon, on perd un "degré de liberté". Diviser par n-1 corrige ce biais et donne une meilleure estimation de la vraie variance.
Interprétation de l'Écart-Type
Pour une distribution normale :
- 68% des valeurs sont dans [μ - σ ; μ + σ]
- 95% des valeurs sont dans [μ - 2σ ; μ + 2σ]
- 99,7% des valeurs sont dans [μ - 3σ ; μ + 3σ]
Coefficient de Variation (CV)
Pour comparer la dispersion de séries avec des moyennes différentes :
CV = (σ / μ) × 100 %
- CV < 15% : Faible dispersion
- CV 15-30% : Dispersion modérée
- CV > 30% : Forte dispersion
❓ Questions Fréquentes
Comment calculer l'écart-type ?
Moyenne → écarts → carrés → moyenne des carrés (variance) → racine carrée.
Quelle est la différence entre écart-type et variance ?
Variance = moyenne des carrés des écarts. Écart-type = √variance. Même unité que les données.
Pourquoi diviser par n-1 et pas n ?
Correction de Bessel pour les échantillons. Compense le biais de l'estimation de la moyenne.
À quoi sert l'écart-type ?
Mesurer la dispersion, comparer des séries, évaluer la variabilité, calculs de probabilité.
Qu'est-ce qu'un bon écart-type ?
Dépend du contexte. Utilisez le CV (σ/μ×100). CV < 15% = faible dispersion.
Formule Excel pour l'écart-type ?
ECARTYPE.STANDARD (n-1) ou ECARTYPE.PEARSON (n). Aussi STDEV.S et STDEV.P.