Volume d'une Sphère : Formule (4/3)πr³, Surface 4πr², Demi-sphère, Calotte et Sphère Creuse (2026)

La formule du volume d'une sphère : V = (4/3)·π·r³

Le volume d'une sphère pleine dépend uniquement de son rayon r. La formule fondamentale, établie par Archimède vers 225 av. J.-C. et confirmée par le calcul intégral moderne, est :

Si vous connaissez le diamètre d plutôt que le rayon : r = d/2, donc V = π·d³/6. Si vous connaissez la circonférence C (périmètre du grand cercle) : r = C/(2π), puis applique la formule.

Calcul pas-à-pas pour r = 10 cm

1. Calculer r³ : 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 cm³
2. Multiplier par π : 3,14159265 × 1 000 = 3 141,59 cm³
3. Multiplier par 4/3 : (4 ÷ 3) × 3 141,59 = 4 188,79 cm³
4. Convertir si besoin : 4 188,79 cm³ ÷ 1 000 = 4,19 litres

Démonstration historique : Archimède (~225 av. J.-C.)

Dans son traité Sphère et cylindre (Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου), Archimède démontre par la méthode d'exhaustion — ancêtre du calcul intégral — que le volume d'une sphère est exactement les deux tiers du volume du cylindre qui la circonscrit (de rayon r et de hauteur 2r). Mehdi Kabbaj souligne que cette découverte était si précieuse qu'Archimède demanda que l'on grave sur sa tombe la figure d'une sphère inscrite dans un cylindre.

La preuve moderne par intégrale confirme ce résultat. En découpant la sphère en disques horizontaux d'épaisseur infinitésimale dy, chaque disque à la hauteur y a un rayon ρ(y) = √(r² − y²) et une aire π·ρ² = π(r² − y²). L'intégration de −r à +r donne :

Le principe de Cavalieri — lien entre sphère et cylindre-cônes

Archimède a découvert avant la lettre le principe que Bonaventura Cavalieri formalisa en 1635 : si deux solides ont, à chaque hauteur y, des sections transversales de même aire, leurs volumes sont égaux. Appliqué à la sphère, cela signifie que la section de la sphère de rayon r à la hauteur y est un disque de rayon √(r² − y²) et d'aire π(r² − y²). La section du cylindre circonscrit de rayon r privé de deux cônes (rayon r, hauteur r) à la même hauteur est aussi π(r² − y²). Les deux solides ont donc le même volume, ce qui confirme V_sphère = V_cylindre − V_deux_cônes = 2πr³ − (2/3)πr³ = (4/3)πr³.

Ce raisonnement, élégant et sans intégrale, reste enseigné en classe de Terminale et en classes préparatoires comme introduction à l'analyse des solides de révolution. Pour r = 5 cm : V_cylindre(r, h=2r) = 2π × 125 = 785,40 cm³ ; V_deux_cônes = (2/3)π × 125 = 261,80 cm³ ; V_sphère = 785,40 − 261,80 = 523,60 cm³, soit (4/3)π × 125 = 523,60 cm³ — vérification exacte.

Tableau de référence : volumes et surfaces pour rayons usuels

Surface d'une sphère : S = 4·π·r²

L'aire de la surface d'une sphère vaut quatre fois l'aire du grand cercle de même rayon. Cette relation, elle aussi démontrée par Archimède, possède une élégance remarquable : la surface de la sphère vaut exactement la surface latérale du cylindre circonscrit (de rayon r, hauteur 2r), soit 2πr × 2r = 4πr².

Relation volume / surface — isopérimétrie

Pour une sphère de rayon r, le ratio V/S = r/3. Autrement dit, le volume augmente en r³ tandis que la surface croît en r². Cela signifie qu'une grande sphère stocke proportionnellement plus de volume par unité de surface qu'une petite sphère — raison pour laquelle les réservoirs industriels sous pression sont sphériques (minimiser la surface = minimiser le coût de la paroi pour un volume donné).

L'isopérimétrie sphérique, démontrée rigoureusement par Hermann Schwarz en 1884, établit que parmi toutes les surfaces fermées d'aire donnée, c'est la sphère qui renferme le volume maximal. Cette propriété explique les bulles de savon (la tension superficielle minimise la surface), les gouttes d'eau en apesanteur à bord de la Station spatiale internationale, et la forme quasi-sphérique des étoiles et planètes massives.

Applications de la surface sphérique

• Peinture et revêtement : pour peindre une sphère de rayon 1 m (ex. : sculpture publique), il faut S = 4π × 1² ≈ 12,57 m² de peinture. Si la consommation est 200 g/m², il faut 2,51 kg.
• Isolation thermique de réservoirs sphériques : la surface S = 4πr² détermine la quantité de laine de roche ou de mousse de polyuréthane nécessaire pour isoler un ballon de stockage d'eau chaude ou de GPL.
• Astronomie : la surface de la Terre (6 371 km de rayon) vaut S = 4π × 6371² ≈ 5,10 × 10⁸ km². Les océans couvrent ≈ 3,61 × 10⁸ km² soit 70,8 % de cette surface.
• Physique nucléaire : l'aire de section efficace d'un noyau atomique est approximée par S = 4πr², avec r ≈ r₀·A^(1/3) (r₀ ≈ 1,2 fm, A = nombre de masse). Le modèle de la goutte liquide repose sur l'énergie de surface proportionnelle à 4πr².

Demi-sphère (hémisphère) : volume et surface totale

Une demi-sphère, ou hémisphère, est exactement la moitié d'une sphère sectionnée par un plan passant par son centre. Son volume est la moitié du volume de la sphère complète. Sa surface totale inclut deux parties : la calotte courbe et le disque de base circulaire.

Exemple complet pour r = 10 cm :

• Volume demi-sphère : V = (2/3) × 3,14159 × 1 000 = 2 094,40 cm³ = 2,09 litres
• Calotte courbe : S = 2π × 100 = 628,32 cm²
• Disque de base : πr² = 3,14159 × 100 = 314,16 cm²
• Surface totale : 628,32 + 314,16 = 942,48 cm²

Applications architecturales et industrielles de la demi-sphère

Les dômes hémisphériques sont omniprésents en architecture depuis l'Antiquité. Le Panthéon de Rome (27 av. J.-C., dôme refait au IIᵉ s.) possède une coupole hémisphérique de rayon 21,7 m. Volume approximatif = (2/3)π × 21,7³ ≈ 21 382 m³. Espace total intérieur cohérent avec une sphère inscrite de même rayon.

En industrie alimentaire, les moules hémisphériques en silicone (rayon 3 à 8 cm) permettent de fabriquer des demi-sphères de chocolat, de glace ou de fromage frais. Le volume du moule détermine la quantité de matière à couler. Un moule hémisphérique de r = 5 cm contient (2/3)π × 125 ≈ 261,8 cm³ ≈ 261 ml.

Les igloo traditionnels des Inuit ont une forme proche de la demi-sphère (légèrement aplatie à la base). Un igloo typique de rayon 2 m a un volume habitable ≈ (2/3)π × 8 ≈ 16,76 m³. La forme hémisphérique minimise les pertes thermiques par convection (rapport volume/surface optimal) et résiste aux vents en déviant le flux d'air.

Distinction calotte courbe / surface totale — erreur fréquente

Mehdi Kabbaj rappelle que la surface « totale » et la surface « courbe » d'une demi-sphère ne sont pas identiques. Si l'on souhaite peindre la face extérieure d'un dôme, on calcule la calotte courbe : 2πr². Si l'on veut recouvrir intégralement la demi-sphère (intérieur fermé, comme un bol), on utilise la surface totale : 3πr². Confondre les deux induit une erreur de 33 % sur la quantité de matériau.

Calotte sphérique et segment sphérique

Une calotte sphérique est la portion d'une sphère de rayon r découpée par un plan à distance (r − h) du centre, où h est la hauteur de la calotte (0 < h ≤ 2r). Quand h = r, c'est un hémisphère ; quand h = 2r, c'est la sphère entière.

Exemple de calcul — calotte de hauteur h = 3 cm sur sphère r = 10 cm

1. Volume : V = (π × 3² / 3) × (3 × 10 − 3) = (π × 9 / 3) × 27 = 3π × 27 = 81π ≈ 254,47 cm³
2. Aire calotte courbe : A = 2π × 10 × 3 = 60π ≈ 188,50 cm²
3. Rayon base : a = √(2×10×3 − 3²) = √(60 − 9) = √51 ≈ 7,14 cm
4. Vérification : la calotte représente 254,47 / 4 188,79 ≈ 6,1 % du volume total de la sphère.

Segment sphérique à deux bases (zone sphérique)

Un segment sphérique est délimité par deux plans parallèles coupant la sphère. Sa hauteur h est la distance entre les deux plans ; a et b sont les rayons des deux disques de base.

Ce cas est utile en géodésie (calcul de volumes de calottes polaires) et en optique (lentilles sphériques). Quand le plan inférieur passe par le centre (b = 0), on retrouve la formule de la calotte.

Application : lentilles optiques et géodésie

En optique, une lentille plan-convexe est une calotte sphérique de rayon de courbure R et d'épaisseur maximale h (épaisseur au centre). Son volume de verre est V = (πh²/3)·(3R − h). Pour une lentille de lunette correctrice avec R = 200 mm et h = 4 mm : V = (π × 16/3) × (600 − 4) = (16π/3) × 596 ≈ 9 979 mm³ ≈ 9,98 cm³. Si le verre optique a une densité de 2,52 g/cm³, la lentille pèse environ 25,1 g.

En géodésie, la calotte polaire arctique est souvent modélisée comme une calotte sphérique sur la Terre (r = 6 371 km). La latitude 66,5° (cercle arctique) correspond à une hauteur de calotte h = r × (1 − sin 66,5°) ≈ 6 371 × (1 − 0,917) ≈ 529 km. Volume de la calotte arctique ≈ (π × 529²/3) × (3 × 6371 − 529) ≈ 2,93 × 10⁷ km³. Ce calcul intervient dans les modèles climatiques pour estimer la masse des calottes glaciaires.

En mécanique des fluides, on calcule le volume de liquide dans un réservoir sphérique partiellement rempli en appliquant la formule de la calotte : si un réservoir sphérique de rayon R = 3 m contient un liquide jusqu'à une hauteur h = 1 m depuis le fond, V_liquide = (πh²/3)·(3R − h) = (π × 1/3) × (9 − 1) = 8π/3 ≈ 8,38 m³ = 8 380 litres. C'est la base des jauges de niveau pour citernes sphériques.

Propriété remarquable de l'aire de la calotte

L'aire de la calotte courbe A = 2πrh dépend uniquement du rayon r et de la hauteur h, indépendamment de la position du plan de coupe. Deux calottes de même sphère et de même hauteur ont la même aire courbe, même si leurs bases ont des rayons différents. Cette propriété, aussi due à Archimède, simplifie grandement les calculs de surfaces sphériques partielles en cartographie et en architecture.

Sphère creuse (coque sphérique) : V = (4/3)π·(R³ − r³)

Une sphère creuse est délimitée par deux sphères concentriques : la sphère extérieure de rayon R et la sphère intérieure (cavité) de rayon r (r < R). Son volume est la différence des volumes des deux sphères.

Exemple : R = 10 cm, r = 8 cm

1. V_ext = (4/3)π × 10³ = (4/3)π × 1 000 = 4 188,79 cm³
2. V_int = (4/3)π × 8³ = (4/3)π × 512 = 2 144,66 cm³
3. V_coque = 4 188,79 − 2 144,66 = 2 044,13 cm³
4. Épaisseur de coque : e = R − r = 2 cm
5. La cavité représente 2 144,66 / 4 188,79 ≈ 51,2 % du volume total.

Applications industrielles et scientifiques

Réservoirs sous pression (GPL, GNL) : les sphères de stockage industrielles, fabriquées en acier haute résistance, sont des sphères creuses de rayon extérieur 3 à 10 m et d'épaisseur de paroi 15 à 40 mm. La résistance d'une coque sphérique sous pression interne P est définie par σ = P·R/(2e), où σ est la contrainte de membrane. La sphère est la seule forme où cette contrainte est uniforme en tout point de la surface — d'où son utilisation privilégiée pour les gaz sous haute pression.

Ballons météorologiques : un radiosonde à 30 km d'altitude a un diamètre de 6 à 8 m (rayon 3–4 m). La paroi en latex est une coque sphérique de 0,05 mm d'épaisseur. Volume de gaz (hélium ou hydrogène) ≈ (4/3)π × 3,5³ ≈ 179 m³ à l'altitude de lancement (rayon plus faible au sol, dilatation à altitude).

Ondes sismiques et structure interne de la Terre : la Terre est modélisée comme une série de coques sphériques concentriques (croûte, manteau, noyau externe liquide, noyau interne solide). Le noyau solide a un rayon de 1 220 km ; sa coque externe (noyau liquide) s'étend de r = 1 220 km à R = 3 480 km. Volume du noyau liquide = (4/3)π × (3480³ − 1220³) ≈ 1,69 × 10¹¹ km³.

Sphère creuse en sport et en médecine

Les balles de golf modernes ont une structure multicouche assimilable à des coques sphériques emboîtées. L'âme centrale (rayon r₁ ≈ 9 mm) est entourée d'une couche intermédiaire (R₂ ≈ 17 mm) puis du manteau de surlyn (R₃ ≈ 21,3 mm, soit un diamètre de 42,67 mm conforme aux règles R&A). Volume du manteau = (4/3)π × (21,3³ − 17³) ≈ (4/3)π × (9 663 − 4 913) = (4/3)π × 4 750 ≈ 19 895 mm³ = 19,9 cm³. Ce volume de matière détermine la masse de la balle (max 45,93 g selon les règles R&A 2023).

En médecine nucléaire, les marqueurs sphériques (billes d'or ou de tungstène) implantés en radiochirurgie stéréotaxique ont un rayon de 0,4 à 1 mm. Pour une bille de tungstène de r = 0,75 mm : V = (4/3)π × 0,75³ ≈ 1,77 mm³. Avec une densité de 19,3 g/cm³ = 19,3 × 10⁻³ g/mm³, la bille pèse ≈ 34 mg. La précision du calcul est critique pour doser l'atténuation lors de l'imagerie par tomographie.

Exemples chiffrés : ballon de foot, Terre et réservoirs

1 — Ballon de foot réglementaire FIFA

La règle 2 des Lois du jeu FIFA (édition 2024–25) fixe la circonférence du ballon entre 68 et 70 cm. Prenons C = 69 cm (valeur médiane). Le rayon s'obtient par r = C/(2π) = 69/(2×3,14159) ≈ 10,98 cm ≈ 11 cm par simplification courante.

• Volume V = (4/3)π × 11³ = (4/3)π × 1 331 ≈ 5 575,28 cm³ = 5,58 litres
• Surface S = 4π × 11² = 4π × 121 ≈ 1 520,53 cm²
• Pression de gonflage : 0,6 à 1,1 bar (atmosphère incluse). À 0,9 bar de surpression, la masse d'air dans le ballon ≈ 0,45 g.

2 — Réservoir sphérique GPL de rayon 5 m

Les sphères de stockage GPL (gaz de pétrole liquéfié) que l'on voit sur les sites pétrochimiques ont un rayon typique de 5 à 8 m. Pour R = 5 m :

• Volume V = (4/3)π × 5³ = (4/3) × 3,14159 × 125 ≈ 523,6 m³ = 523 600 litres
• Surface S = 4π × 25 ≈ 314,16 m²
• Avec une paroi en acier d'épaisseur e = 20 mm (r_int = 4,98 m) : V_acier = (4/3)π × (5³ − 4,98³) ≈ 6,27 m³ d'acier
• Masse acier ≈ 6,27 × 7 850 kg/m³ ≈ 49 200 kg ≈ 49 tonnes

3 — La Terre, la Lune et le Soleil

Mehdi Kabbaj a compilé les données astronomiques de référence pour illustrer les ordres de grandeur :

Le Soleil occupe un volume 1 303 000 fois supérieur à la Terre (ratio des cubes : (696 000/6 371)³ ≈ 1 303 000). La Lune est 49 fois plus petite en volume que la Terre — l'impression visuelle qu'elles paraissent de même taille depuis la Terre est due à la coïncidence que le Soleil est 400× plus éloigné que la Lune et 400× plus grand en diamètre.

4 — Châteaux d'eau et cuves sphériques

Les châteaux d'eau sphériques, très répandus en France et en Europe du Nord, sont dimensionnés pour alimenter des communes de 5 000 à 50 000 habitants. Un château d'eau standard a un rayon de 6 m et stocke V = (4/3)π × 6³ = (4/3)π × 216 ≈ 904,8 m³ = 904 800 litres. À raison de 150 litres par habitant et par jour (consommation moyenne INSEE), ce volume couvre une autonomie d'environ 6 jours pour 1 000 habitants.

Le choix de la forme sphérique n'est pas esthétique : pour une paroi d'épaisseur e = 15 mm en béton armé, la surface à construire vaut S = 4π × 6² = 452,4 m², soit la quantité minimale de matériau pour contenir ce volume sous pression. Un cylindre de même volume (rayon 5 m, hauteur ≈ 11,5 m) aurait une surface totale d'environ 514 m² — 14 % de matériau en plus. La sphère réduit le coût de construction, les pertes thermiques en hiver et les contraintes de membrane (distribution uniforme).

Les cuves sphériques de méthanisation (biogaz) ont des rayons de 4 à 15 m et opèrent sous légère surpression. Pour r = 8 m : V = (4/3)π × 512 ≈ 2 144,7 m³ = 2,14 millions de litres de biogaz. La production d'une telle cuve alimentée en lisier de bovins peut représenter l'équivalent énergétique de 150 à 200 MWh/an selon la charge organique.

Formule inverse — retrouver le rayon depuis le volume ou la surface

Exemple 1 : réservoir cible de 1 000 litres = 1 m³

r = ∛(3 × 1 / (4 × 3,14159)) = ∛(3 / 12,566) = ∛(0,2387) ≈ 0,620 m. Diamètre extérieur = 1,24 m. Surface extérieure = 4π × 0,620² ≈ 4,83 m².

Exemple 2 : ballon dont on connaît la surface

Un ballon de gym a une surface de 1 256 cm². r = √(1 256 / (4 × 3,14159)) = √(1 256 / 12,566) = √(99,95) ≈ 10,0 cm. Volume = 4 186 cm³ ≈ 4,19 litres.

Cas de la calotte inverse : retrouver h

Si vous connaissez le volume V_cal d'une calotte et le rayon r de la sphère, la hauteur h se retrouve en résolvant l'équation cubique h³ − 3r·h² + 3V_cal/π = 0. En pratique, on résout numériquement (Newton-Raphson) ou avec le calculateur ci-dessus.

Sphère vs Boule — la distinction mathématique exacte

Dans la terminologie mathématique française stricte, et particulièrement celle du programme officiel du lycée (Éduscol, cycle 4 et lycée), les deux termes ne désignent pas la même notion :

Au baccalauréat et au brevet des collèges, les sujets demandent explicitement le volume de la boule (V = (4/3)πr³) et l'aire de la sphère (S = 4πr²). Dans le langage courant, scientifique ou technique, les deux termes sont utilisés de façon interchangeable sans ambiguïté pratique.

Comparaison sphère / cube / cylindre — pourquoi la sphère maximise le volume

Pour une même dimension caractéristique (rayon/arête = r = 1 m, hauteur cylindre = 2r) :

Nota : quand on compare des solides "de même rayon", la sphère n'est pas forcément plus grande que le cube ! Mais pour une surface donnée, la sphère est le solide de volume maximal (théorème isopérimétrique). Pour S = 12,57 m² : V_sphère = 4,19 m³ > tout autre solide de même surface. C'est ce qui compte pour optimiser les réservoirs (maximiser le volume pour une quantité de matériau fixée).

La sphère dans la nature — pourquoi les étoiles sont rondes

Les étoiles et planètes massives tendent vers la forme sphérique sous l'effet de la gravité, qui attire uniformément la matière vers le centre. Pour une masse M donnée, la forme qui minimise l'énergie potentielle gravitationnelle est la sphère. La Terre n'est pas parfaitement sphérique : son aplatissement dû à la rotation fait que le rayon équatorial (6 378 km) dépasse le rayon polaire (6 357 km) de 21 km (aplatissement f ≈ 1/298). Jupiter, tournant plus vite, a un aplatissement de 1/15.

Sphère et géométrie dans l'espace au collège et au lycée

Au collège (cycle 4, classe de troisième), le programme officiel Éduscol demande aux élèves de calculer le volume d'une boule et l'aire d'une sphère à partir du rayon ou du diamètre. Les formules V = (4/3)πr³ et S = 4πr² sont données — leur démonstration n'est pas exigible. Les exercices portent sur des objets concrets : ballon, bille, planète, réservoir. La conversion entre cm³ et litres (1 L = 1 000 cm³) est systématiquement évaluée.

Au lycée (classe de Terminale, spécialité mathématiques), la formule est redémontrée via le calcul intégral. Les élèves calculent ∫₋ᵣʳ π(r² − y²) dy en deux étapes : primitive de r²y est r²y, primitive de y³/3 est y³/3, et on applique la règle des bornes. Cet exercice est un classique des DS de Terminale et constitue souvent une question dans les concours Grandes Écoles (MPSI, PCSI). Mehdi Kabbaj souligne que maîtriser cette démonstration permet d'aborder ensuite les volumes de révolution pour n'importe quelle courbe f(y), base des surfaces de révolution en CPGE.

5 erreurs fréquentes dans le calcul du volume d'une sphère

1 — Confondre rayon et diamètre

La formule V = (4/3)πr³ prend le rayon, pas le diamètre. Un ballon de foot de diamètre 22 cm a un rayon de 11 cm — saisir 22 au lieu de 11 multiplie le volume par 8 (facteur 2³). Résultat erroné : 44 690 cm³ au lieu de 5 575 cm³. Toujours vérifier l'unité saisie : « diamètre d = 22 cm → rayon r = 11 cm ».

2 — Oublier le facteur (4/3)

Une erreur classique consiste à calculer πr³ seul (sans le facteur 4/3). Pour r = 10 cm : πr³ = 3 141,59 cm³ au lieu de 4 188,79 cm³ — soit 25 % de moins. Le facteur (4/3) ne doit jamais être approximé à 1.

3 — Appliquer V = (4/3)πr³ à une calotte

Si l'objet est une calotte (une portion de sphère), la formule correcte est V = (πh²/3)·(3r − h). Utiliser (4/3)πr³ surestime massivement le volume. Pour h = r/3 (calotte peu profonde), l'erreur est d'un facteur ~9.

4 — Confondre surface courbe et surface totale de la demi-sphère

La surface d'une demi-sphère dépend de l'usage : 2πr² pour la face courbe seule, 3πr² pour la surface totale (courbe + disque). Sous-estimer d'un tiers la quantité de matériau entraîne des ruptures de stock sur chantier.

5 — Utiliser π ≈ 3,14 pour des calculs de précision

La valeur π ≈ 3,14 entraîne une erreur relative de 0,05 % sur V et 0,03 % sur S. Pour un réservoir de 100 m³, cela représente 50 litres d'erreur. Dans les calculs d'ingénierie, utiliser π = 3,14159265 (8 décimales) ou la constante native de la calculatrice. La valeur exacte est irrationnelle et transcendante (π ≠ 22/7 — cette approximation a une erreur de 0,04 %).

❓ Questions fréquentes sur le volume d'une sphère

Sources et références

• Archimède, Sphère et cylindre (~225 av. J.-C.) : traité original démontrant V_sphère = (2/3) × V_cylindre circonscrit (r, h=2r), première preuve rigoureuse de la formule (4/3)πr³ par la méthode d'exhaustion.
• Wikipedia — Sphère : fr.wikipedia.org/wiki/Sphère — formules volume, surface, calotte, hémisphère, sphère creuse, références bibliographiques complètes.
• MathWorld (Wolfram) — Sphere : mathworld.wolfram.com/Sphere.html — démonstrations analytiques, intégrale de volume, propriétés isopérimétriques.
• Eduscol — Programme de mathématiques, cycle 4 (2016) : volumes des solides usuels (sphère, cône, cylindre, prisme) au programme de troisième et seconde. Référence officielle Éducation nationale.
• Ministère de l'Éducation nationale — Programmes Terminale (2019) : calcul intégral appliqué aux volumes de révolution. Contexte pédagogique de la formule (4/3)πr³ via ∫π(r²−y²)dy.
• FIFA — Loi 2 du jeu (Laws of the Game 2024-25) : ballons réglementaires circumférence 68–70 cm (rayon ≈ 10,8–11,1 cm), pression 0,6–1,1 bar. Référence pour les exemples ballon de foot.

Dernière vérification : 20 mai 2026. Contenu rédigé et vérifié par Mehdi Kabbaj, spécialiste géométrie dans l'espace et mathématiques appliquées.