Calcul Suite Geometrique
En bref : Calculez le n-ieme terme et la somme.
Calculateur
Resultat
Suite géométrique : définition, formules et propriétés complètes
Une suite (uₙ) est géométrique si et seulement si le rapport entre deux termes consécutifs est constant. Cette constante s'appelle la raison q (avec q ≠ 0).
Définition par récurrence : u_{n+1} = uₙ × q
Terme général (forme explicite) : uₙ = u₀ × qⁿ
Somme des n+1 premiers termes (q ≠ 1) : Sₙ = u₀ × (1 - q^{n+1}) / (1 - q)
Démonstration de la formule du terme général
Par télescopage multiplicatif : uₙ/u₀ = (uₙ/u_{n-1}) × (u_{n-1}/u_{n-2}) × ... × (u₁/u₀) = q × q × ... × q = qⁿ. Donc uₙ = u₀ × qⁿ.
La croissance exponentielle est la signature des suites géométriques de raison q > 1. La décroissance vers 0 caractérise 0 < q < 1. Pour q < 0, la suite alterne entre positif et négatif.
Démonstration de la formule de la somme
Soit S = u₀ + u₀q + u₀q² + ... + u₀qⁿ. Multiplier par q : qS = u₀q + u₀q² + ... + u₀q^{n+1}. Soustraire : S - qS = u₀ - u₀q^{n+1}, donc S(1-q) = u₀(1-q^{n+1}). D'où S = u₀(1-qⁿ⁺¹)/(1-q) pour q ≠ 1. Si q = 1 : S = (n+1)u₀.
Suite géométrique à somme infinie : la série convergente
Pour |q| < 1, la somme infinie S∞ = u₀/(1-q). C'est le résultat le plus remarquable des suites géométriques :
Exemple classique : 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... (u₀=1, q=1/2) = 1/(1-1/2) = 2. Ce résultat contre-intuitif — une infinité de termes positifs converge vers un nombre fini — est à la base du calcul intégral et des séries de Fourier.
Application finance (rente perpétuelle) : Un actif qui verse 1 000 € par an indéfiniment vaut, au taux d'actualisation de 5 % : V = 1 000 / 0,05 = 20 000 €. C'est la formule de Gordon-Shapiro pour l'évaluation d'actions à dividende constant.
Applications pratiques des suites géométriques
Finance — intérêts composés : Capital de 10 000 € placé à 4 %/an pendant 20 ans. uₙ = 10 000 × 1,04²⁰ = 10 000 × 2,191 = 21 911 €. La richesse plus que double en 20 ans grâce à l'effet des intérêts composés.
Biologie — croissance bactérienne : Une bactérie se divise toutes les 20 minutes. Après 3 heures (9 générations) : uₙ = 1 × 2⁹ = 512 bactéries. Après 24 heures (72 générations) : 2⁷² ≈ 4,7 × 10²¹ bactéries — plus que le nombre d'étoiles dans la Voie Lactée !
Acoustique — décibels : L'intensité sonore suit une échelle géométrique : chaque +10 dB correspond à une multiplication par 10 de l'énergie. 60 dB est 10 000 fois plus intense que 20 dB.
Informatique — complexité algorithmique : Un algorithme divisant le problème par 2 à chaque étape (recherche dichotomique) a une complexité O(log n) — c'est l'inverse de la suite géométrique de raison 2.
La règle des 72 : estimer le doublement d'un capital
Règle pratique découlant des suites géométriques : pour un taux d'intérêt annuel r (en %), le temps de doublement est approximativement 72/r années. À 4 %/an : 72/4 = 18 ans. À 6 % : 72/6 = 12 ans. À 12 % : 72/12 = 6 ans. C'est l'une des règles les plus utiles en finance personnelle.
Questions fréquentes — Suite géométrique
Comment savoir si une suite est géométrique ?
Calculez les rapports entre termes consécutifs : u₁/u₀, u₂/u₁, u₃/u₂... Si tous ces rapports sont égaux, la suite est géométrique. Exemple : 3, 6, 12, 24, 48 → rapports tous égaux à 2 → suite géométrique, q = 2. Attention : si un terme est zéro, les rapports sont impossibles — la suite ne peut pas être géométrique.
Quelle est la différence entre croissance linéaire et exponentielle ?
Croissance linéaire (arithmétique) : on ajoute un montant fixe à chaque étape. Ex : épargne de 200 €/mois. Croissance exponentielle (géométrique) : on multiplie par un facteur fixe. Ex : intérêts composés à 5 %/an. À long terme, la croissance géométrique domine toujours la croissance arithmétique, quel que soit le taux initial.
Comment calculer u₅ si u₂ = 12 et q = 3 ?
u₅ = u₂ × q^(5-2) = 12 × 3³ = 12 × 27 = 324. Formule générale : uₙ = uₖ × q^(n-k) pour passer du rang k au rang n. Pas besoin de connaître u₀ si on connaît un terme intermédiaire.
A partir de quel niveau scolaire peut-on utiliser ce calculateur ?
Ce calculateur couvre les programmes du college (4eme-3eme) au lycee (Seconde-Terminale), et convient aussi aux etudiants en licence. Les formules appliquees suivent le programme de l'Education nationale 2026.
Pack Examens 2026 — Maths : fractions + équations + dérivées + suites
- Fractions, équations 1er/2nd degré, racines, logs
- Dérivées, primitives, intégrales, limites + exercices
- Suites (arithmétique/géométrique) + PGCD/PPCM
Coefficients officiels · Éducation Nationale 2026
Formules completes — Suite geometrique
Formule recursive : un+1 = un × q
Somme (q ≠ 1) : Sn = u0 × (1 - qn+1) / (1 - q)
Somme infinie (|q| < 1) : S∞ = u0 / (1 - q)
Raison : q = un / un-1 (constante, q ≠ 0)
Gordon-Shapiro (rente perpetuelle) : V = D / (r - g)
| Cas | Comportement | Exemple |
|---|---|---|
| q > 1 | Croissance exponentielle | Interets composes, epidemies |
| 0 < q < 1 | Decroissance vers 0 | Radioactivite, depreciation |
| -1 < q < 0 | Alternance decroissante | Systemes oscillants amortis |
| q = 1 | Constante (tous termes = u0) | Cas degenere |
| |q| = 1, q=-1 | Alternance u0 / -u0 | 1, -1, 1, -1... |
3 exemples concrets resolus pas a pas
Exemple 1 — Interets composes : epargne retraite
Vous placez 5 000 € a 4 % par an. Quelle somme obtenir apres 30 ans ? Combien d'annees pour doubler le capital ?
Terme general : u30 = 5 000 × 1,0430 = 5 000 × 3,2434 = 16 217 €
Regle des 72 : doublement en 72/4 = 18 ans. Verification : 5 000 × 1,0418 = 5 000 × 2,026 = 10 130 € ≈ doublement.
Avec versements mensuels : 200 €/mois a 4 %/an = 4 %/12 mensuel. Apres 30 ans : somme finie de geometrique ≈ 138 960 €.
Exemple 2 — Croissance bacterienne
Une bacterie se divise toutes les 20 minutes. On part d'une seule bacterie. Combien en 3 heures ?
Raison : q = 2 (doublement). Nombre de divisions en 3h : 180/20 = 9.
u9 = 1 × 29 = 512 bacteries
En 24h : 72 divisions → 272 ≈ 4,7 × 1021. Soit plus de cellules que d'etoiles dans la Voie Lactee (1011). La croissance exponentielle depasse l'intuition humaine.
Exemple 3 — Somme infinie et paradoxe de Zenon
Achille parcourt 1 m, puis 1/2 m, puis 1/4 m... La distance totale parcourue est-elle infinie ?
Suite : u0 = 1, q = 1/2. |q| = 0,5 < 1 → serie convergente.
Somme infinie : S∞ = 1 / (1 - 1/2) = 1 / (1/2) = 2 metres
Une infinite de termes positifs converge vers 2. Ce paradoxe apparent (Zenon, Ve siecle av. J.-C.) se resout par la serie geometrique. Zenon croyait qu'une infinite de termes donnait forcement une somme infinie — faux pour |q| < 1.
Erreurs frequentes a eviter
La formule Sn = u0(1-qn+1)/(1-q) est indeterminee si q=1 (division par zero). Si q=1, tous les termes valent u0 et Sn = (n+1)×u0. Toujours verifier q ≠ 1 avant d'appliquer la formule de somme.
Un placement a 5 %/an a pour raison q = 1,05 (et non q = 0,05). La raison est le coefficient multiplicateur : q = 1 + taux. Une depreciation de 10%/an donne q = 0,90. Confondre q = 0,05 avec q = 1,05 amene a un calcul completement faux.
Si |q| < 1, la somme infinie converge. Si |q| ≥ 1, elle diverge. La regle des 72 (doublement en 72/taux% annees) s'applique aux suites geometriques, pas arithmetiques. Verifier toujours la condition |q| < 1 avant d'utiliser S∞ = u0/(1-q).
FAQ — 8 questions cles
Comment identifier une suite geometrique ?
Calculez les rapports consecutifs : u1/u0, u2/u1... S'ils sont egaux, la suite est geometrique. Attention : si un terme est nul, les rapports sont impossibles et la suite ne peut pas etre geometrique. Pour 3, 6, 12, 24 : rapports tous egaux a 2 → q=2, geometrique.
Qu'est-ce que la formule de Gordon-Shapiro ?
En finance, la valeur d'une action a dividende croissant est V = D0(1+g)/(r-g) ou D0 est le dividende actuel, g le taux de croissance perpetuel, r le taux d'actualisation. C'est la somme infinie d'une suite geometrique de raison (1+g)/(1+r). Si une action verse 5 € de dividende, croissant de 3 %/an, avec r=8 % : V = 5×1,03/(0,08-0,03) = 5,15/0,05 = 103 €.
Comment calculer u5 en connaissant u2 et la raison ?
u5 = u2 × q(5-2) = u2 × q3. Si u2 = 12 et q = 3 : u5 = 12 × 27 = 324. Formule generale : un = uk × q(n-k) pour passer du rang k au rang n. Pas besoin de u0.
Qu'est-ce que la regle des 72 ?
Pour un taux de rendement annuel r%, le capital double en environ 72/r annees. A 6 %/an : doublement en 12 ans. A 9 % : 8 ans. A 2 % : 36 ans. C'est une approximation de ln(2)/ln(1+r) ≈ 0,693/r. Precision : la regle des 72 surestime legerement pour les taux eleves (>10 %).
Suite geometrique vs suite arithmetique : quand utiliser laquelle ?
Arithmetique si la variation est additive constante (salaire +200 €/mois, distance +5 m). Geometrique si la variation est multiplicative (taux d'interet, croissance en %, deperiodisation). En physique, la desintegration radioactive (T1/2) est geometrique : la moitie du materiau disparait a chaque periode.
La raison peut-elle etre fractionnaire ou negative ?
Oui. q = 0,5 → suite decroissante (1, 0,5, 0,25, 0,125...). q = -2 → suite alternee (1, -2, 4, -8...). q = -0,5 → alternee decroissante (1, -0,5, 0,25, -0,125...). Pour q negatif, la somme infinie converge seulement si |q| < 1, quelle que soit l'alternance.
Comment retrouver q si l'on connait deux termes non consecutifs ?
Si up et un sont connus : q = (un/up)1/(n-p). Exemple : u2=4 et u7=128. q = (128/4)1/5 = 320,2 = 2. Verification : u7 = u2 × q5 = 4×32 = 128 ✓.
Suite geometrique et logarithme : quel lien ?
Les logarithmes transforment une suite geometrique en suite arithmetique : log(un) = log(u0) + n×log(q). C'est pourquoi une echelle logarithmique redresse une courbe exponentielle en droite. Les graphiques boursiers, sismiques et acoustiques utilisent souvent des echelles logarithmiques pour visualiser des suites geometriques.