Calcul Suite Arithmetique
En bref : Calculez le n-ieme terme et la somme.
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Suite arithmétique : définition, formules et propriétés complètes
Une suite (uₙ) est arithmétique si et seulement si la différence entre deux termes consécutifs est constante. Cette constante s'appelle la raison r.
Définition par récurrence : u_{n+1} = uₙ + r
Terme général (forme explicite) : uₙ = u₀ + n × r
Somme des n+1 premiers termes : Sₙ = (n+1) × (u₀ + uₙ) / 2
Démonstration de la formule du terme général
La formule uₙ = u₀ + n × r se démontre par récurrence ou par télescopage :
Télescopage : uₙ - u₀ = (uₙ - u_{n-1}) + (u_{n-1} - u_{n-2}) + ... + (u₁ - u₀) = r + r + ... + r = n × r. Donc uₙ = u₀ + n × r. Cette forme explicite est fondamentale — elle permet de calculer n'importe quel terme sans passer par tous les termes précédents.
Démonstration de la formule de la somme
Le célèbre raisonnement de Gauss (1787, à 10 ans) : pour calculer 1 + 2 + 3 + ... + 100, écrire la somme en ordre inverse et additionner :
S = 1 + 2 + 3 + ... + 100
S = 100 + 99 + 98 + ... + 1
2S = 101 + 101 + ... + 101 (100 fois) = 100 × 101 = 10 100
S = 5 050
Généralisation : S(u₀ à uₙ) = (n+1) × (u₀ + uₙ) / 2 = nombre de termes × (premier + dernier) / 2.
Applications pratiques des suites arithmétiques
Finance — amortissement linéaire : Un emprunt de 24 000 € remboursé en 12 mensualités constantes. Chaque remboursement du capital = 24 000/12 = 2 000 €. Les intérêts décroissent linéairement (suite arithmétique de raison négative).
Physique — chute libre : La distance parcourue à chaque seconde lors d'une chute libre forme une suite arithmétique de raison 2g ≈ 19,6 m. Distances : 4,9 m, 14,7 m, 24,5 m, 34,3 m... (différence constante de 9,8 m à chaque nouvelle seconde).
Musique — gamme tempérée : Les fréquences des notes d'une gamme chromatique forment une suite géométrique, mais les intervalles en demi-tons forment une suite arithmétique (raison 1 demi-ton).
Exemples numériques détaillés
Exemple 1 : Suite avec u₀ = 5, r = 3. u₁₀ = 5 + 10 × 3 = 35. S(0 à 10) = 11 × (5 + 35) / 2 = 11 × 20 = 220.
Exemple 2 : Suite décroissante u₀ = 100, r = -7. u₁₂ = 100 + 12 × (-7) = 100 - 84 = 16. S(0 à 12) = 13 × (100 + 16) / 2 = 13 × 58 = 754.
Exemple 3 — problème inverse : On connaît u₅ = 23 et u₁₂ = 51. Trouver r et u₀. u₁₂ - u₅ = 7r = 28, donc r = 4. u₀ = u₅ - 5r = 23 - 20 = 3.
Suite arithmétique vs suite géométrique : comment ne pas confondre
| Critère | Suite arithmétique | Suite géométrique |
|---|---|---|
| Définition | u_{n+1} - uₙ = r (constante) | u_{n+1} / uₙ = q (constante) |
| Terme général | uₙ = u₀ + n·r (linéaire) | uₙ = u₀ × qⁿ (exponentiel) |
| Croissance | Linéaire | Exponentielle (si q > 1) |
| Exemple pratique | Amortissement linéaire | Intérêts composés, virus |
Questions fréquentes — Suite arithmétique
Comment savoir si une suite est arithmétique ?
Calculez les différences entre termes consécutifs : u₁ - u₀, u₂ - u₁, u₃ - u₂... Si toutes ces différences sont égales, la suite est arithmétique et cette valeur constante est la raison r. Exemple : 3, 7, 11, 15, 19... → différences toutes égales à 4 → suite arithmétique, r = 4.
Comment calculer la somme 1 + 2 + 3 + ... + n ?
C'est la suite arithmétique u₀ = 1, r = 1. La somme S = n(n+1)/2. Pour n = 100 : S = 100 × 101 / 2 = 5 050. Pour n = 1000 : S = 1000 × 1001 / 2 = 500 500. Cette formule est utilisée en informatique pour calculer la complexité des algorithmes O(n²).
Quelle est la différence entre une suite indexée à partir de 0 et de 1 ?
En lycée français, les suites sont souvent indexées à partir de 0 (u₀, u₁...) ou de 1 (u₁, u₂...). Si u₁ est le premier terme avec raison r : uₙ = u₁ + (n-1)r. Exemple : u₁ = 5, r = 3, u₁₀ = 5 + 9 × 3 = 32. Notre calculateur utilise u₀ comme premier terme.
A partir de quel niveau scolaire peut-on utiliser ce calculateur ?
Ce calculateur couvre les programmes du college (4eme-3eme) au lycee (Seconde-Terminale), et convient aussi aux etudiants en licence. Les formules appliquees suivent le programme de l'Education nationale 2026.
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Formules completes — Suite arithmetique
Formule recursive : un+1 = un + r
Somme (Gauss) : Sn = (n+1) × (u0 + un) / 2
Somme 1+2+...+n : S = n(n+1)/2
Raison : r = un - un-1 (constante)
Identifier : si u2-u1 = u3-u2 = r → suite arithmetique
| Grandeur | Formule | Exemple (u0=2, r=5) |
|---|---|---|
| Terme un | u0 + n × r | u10 = 2 + 10×5 = 52 |
| Somme Sn | (n+1)(u0+un)/2 | S10 = 11×54/2 = 297 |
| Raison r | (un - uk) / (n-k) | (u6-u3)/3 = (32-17)/3 = 5 |
| Nb de termes | (un - u0) / r + 1 | (52-2)/5 + 1 = 11 termes |
3 exemples concrets resolus pas a pas
Exemple 1 — Paliers de salaire
Un employe commence a 1 800 €/mois. Chaque annee, il recoit une augmentation de 120 €. Quel est son salaire apres 8 ans ? Quelle est la masse salariale totale versee sur 9 ans ?
Parametres : u0 = 1 800, r = 120, n = 8 (apres 8 augmentations).
Salaire an 8 : u8 = 1 800 + 8 × 120 = 1 800 + 960 = 2 760 €/mois
Masse salariale 9 ans : S8 = 9 × (1 800 + 2 760) / 2 = 9 × 2 280 = 20 520 €/mois en moyenne × 12
Exemple 2 — Probleme inverse : trouver r et u0
On sait que u3 = 14 et u9 = 38. Trouver la raison et le premier terme.
Etape 1 : u9 - u3 = (9-3) × r → 38 - 14 = 6r → r = 4
Etape 2 : u0 = u3 - 3r = 14 - 12 = 2
Verification : u9 = 2 + 9×4 = 38 ✓
Suite : 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, 38...
Exemple 3 — Somme de Gauss : 1+2+...+100
Gauss, age de 10 ans, calcule instantanement la somme 1+2+3+...+100 sous les yeux de son maitre.
Suite : u0 = 1, r = 1, n = 99 (100 termes de u0 a u99 = 100)
Formule : S = 100 × (1 + 100) / 2 = 100 × 101 / 2 = 5 050
Astuce Gauss : il regroupa les paires (1+100, 2+99, 3+98... = 50 paires de 101) : 50 × 101 = 5 050.
Generalisation : somme 1+2+...+n = n(n+1)/2. Pour n=1000 : S = 500 500.
Erreurs frequentes a eviter
u0 est le 1er terme (rang 0), u1 le 2e terme, un le (n+1)e terme. Si u1 est donne comme premier terme, alors un = u1 + (n-1)×r. Le nombre de termes de u0 a un est n+1, pas n.
Entre u3 et u10, il y a 10-3+1 = 8 termes (et non 7). Formule : nb termes = rang final - rang initial + 1. Cette erreur de "un de moins" (off-by-one) est la plus frequente en algorithmique aussi.
La formule Sn = (n+1)(u0+un)/2 est STRICTEMENT reservee aux suites arithmetiques. Pour une suite geometrique (un = u0×qn), la somme est Sn = u0(1-qn+1)/(1-q). Verifier toujours le type de suite avant d'appliquer une formule.
FAQ — 8 questions cles
Qu'est-ce qui caracterise une suite arithmetique ?
La difference entre deux termes consecutifs est constante : un+1 - un = r pour tout n. Si la difference varie, la suite n'est pas arithmetique. Exemples : 3, 7, 11, 15 (r=4, arithmetique) ; 2, 6, 18, 54 (rapports de 3, geometrique, pas arithmetique).
Comment calculer la somme 1+2+...+n ?
S = n(n+1)/2. Formule directe de Gauss. Pour n=100 : S=5050. Pour n=1000 : S=500500. En informatique, la complexite O(n2) d'une double boucle vient de cette formule : le nombre d'operations est n(n-1)/2 ≈ n2/2.
Comment retrouver u0 si l'on connait un terme intermediaire ?
u0 = uk - k×r. Si u5 = 23 et r = 4 : u0 = 23 - 5×4 = 3. Formule generale : up = uk + (p-k)×r pour passer du rang k au rang p sans passer par 0.
La raison peut-elle etre negative ou nulle ?
Oui. r < 0 : suite decroissante (ex : 100, 93, 86, 79... avec r=-7). r = 0 : suite constante (tous les termes egaux). r > 0 : suite croissante. Une suite constante est a la fois arithmetique (r=0) et geometrique (q=1).
Comment utiliser les suites arithmetiques en finance ?
Amortissement lineaire : un emprunt de 12 000 € remboursable en capital constant de 1 000 €/mois. Les interets (calcules sur le capital restant) forment une suite arithmetique decroissante. Mois 1 : interet sur 12 000 €. Mois 2 : sur 11 000 €. Raison = -taux mensuel x 1 000 €. La mensualite totale (capital + interets) decroit lineairement.
Suite arithmetique et progression arithmetique : meme chose ?
Oui, ce sont deux terminologies pour le meme concept. "Progression arithmetique" est plus courant dans les textes anglophones (arithmetic progression ou AP). En France, on dit "suite arithmetique". Les proprietes, formules et methodes sont identiques.
La moyenne de tous les termes d'une suite arithmetique est-elle facile a calculer ?
Oui : la moyenne est exactement (u0 + un) / 2 = terme du milieu. Pour une suite de 11 termes allant de 5 a 55 (r=5), la moyenne est (5+55)/2 = 30, soit exactement u5 (le terme central). Propriete remarquable : dans une suite arithmetique, la moyenne = mediane = terme central.
Peut-on avoir une suite a la fois arithmetique et geometrique ?
Oui, uniquement la suite constante non nulle. Si un = c pour tout n (c ≠ 0), alors r = 0 (arithmetique) et q = 1 (geometrique). C'est le seul cas possible. Si u0 = 0, une suite arithmetique de raison r=0 est valide mais ne peut pas etre geometrique (les rapports seraient indetermines).