Systeme 2 Equations 2 Inconnues
En bref : Resolvez ax+by=e, cx+dy=f.
Calculateur
Resultat
Systèmes d'équations linéaires : méthodes de résolution complètes
Un système de deux équations à deux inconnues (x, y) s'écrit sous la forme :
{ ax + by = e
{ cx + dy = f
La solution est obtenue par la règle de Cramer : x = (ed - bf) / (ad - bc) et y = (af - ec) / (ad - bc), avec le déterminant D = ad - bc ≠ 0.
Trois méthodes de résolution à maîtriser
Méthode 1 — Substitution : Exprimer une inconnue en fonction de l'autre à partir d'une équation, puis substituer dans l'autre.
Exemple : { 2x + 3y = 8 / { x - y = 1. De la deuxième : x = y + 1. Substitution dans la première : 2(y+1) + 3y = 8 → 5y = 6 → y = 1,2. Puis x = 2,2.
Méthode 2 — Combinaison linéaire (addition/soustraction) : Multiplier une ou deux équations par un coefficient pour éliminer une inconnue.
Exemple : { 3x + 2y = 7 / { 5x - 2y = 9. Additionner : 8x = 16 → x = 2. Substituer : y = 0,5.
Méthode 3 — Règle de Cramer (matricielle) : Solution directe via le déterminant. Pour { 2x + 3y = 8 / { 1x - 1y = 1 : D = 2(-1) - 3(1) = -5. x = (8×(-1) - 3×1) / (-5) = (-11) / (-5) = 2,2. y = (2×1 - 8×1) / (-5) = (-6) / (-5) = 1,2.
Les 3 cas possibles : solution unique, infinité ou impossibilité
| Déterminant D | Cas | Interprétation géométrique |
|---|---|---|
| D ≠ 0 | Solution unique (x, y) | Deux droites qui se croisent en un point |
| D = 0, second membre compatible | Infinité de solutions | Deux droites confondues |
| D = 0, second membre incompatible | Pas de solution | Deux droites parallèles distinctes |
Applications pratiques des systèmes d'équations
Commerce — mélange de produits : Un commerçant mélange du café à 8 €/kg et du café à 12 €/kg pour obtenir 10 kg de mélange à 9 €/kg. Système : { x + y = 10 / { 8x + 12y = 90. Solution : x = 7,5 kg à 8 € et y = 2,5 kg à 12 €.
Physique — vitesses relatives : Un bateau remonte un fleuve à 12 km/h et le descend à 20 km/h. Vitesse propre v et vitesse du courant c : { v - c = 12 / { v + c = 20. Solution : v = 16 km/h, c = 4 km/h.
Économie — offre et demande : L'équilibre de marché se calcule en résolvant le système { offre = demande. Si offre = 2p + 5 et demande = -3p + 35 : 2p + 5 = -3p + 35 → 5p = 30 → p = 6 (prix d'équilibre). Quantité = 2×6+5 = 17.
Vers les systèmes 3×3 et la méthode de Gauss
Notre calculateur résout les systèmes 2×2. Pour 3 équations à 3 inconnues (niveau BTS, prépa, L1), la méthode de Gauss-Jordan (pivot de Gauss) permet d'éliminer systématiquement les inconnues en transformant le système en forme triangulaire. C'est l'algorithme de base de l'algèbre linéaire numérique — il est à la base de tous les solveurs d'ingénierie et de simulation.
Questions fréquentes — Système d'équations
Quand utiliser la substitution plutôt que la combinaison ?
Utilisez la substitution quand l'une des équations a un coefficient 1 sur l'une des inconnues (facile d'isoler). Utilisez la combinaison quand les coefficients permettent d'éliminer facilement une inconnue par addition/soustraction. La règle de Cramer est recommandée pour les systèmes formels ou quand vous devez vérifier si une solution unique existe.
Comment vérifier que la solution trouvée est correcte ?
Toujours vérifier en substituant x et y dans les DEUX équations. Si les deux sont satisfaites, la solution est correcte. C'est l'étape de validation obligatoire dans les copies de baccalauréat — une erreur de calcul non vérifiée coûte la totalité des points de la question.
Que se passe-t-il si les deux équations sont identiques ?
Le déterminant D = 0. Si les équations sont proportionnelles (l'une est un multiple de l'autre), il y a une infinité de solutions — toute la droite est solution. Exemple : { 2x + 4y = 6 / { x + 2y = 3 : la deuxième est la moitié de la première → infinité de solutions de la forme y = (3-2x)/4.
A partir de quel niveau scolaire peut-on utiliser ce calculateur ?
Ce calculateur couvre les programmes du college (4eme-3eme) au lycee (Seconde-Terminale), et convient aussi aux etudiants en licence. Les formules appliquees suivent le programme de l'Education nationale 2026.
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Methodes de resolution — Recapitulatif complet
Determinant (Cramer) : D = ad - bc
Solution (D ≠ 0) : x = (ed - bf)/D, y = (af - ec)/D
Substitution : isoler une inconnue, substituer dans l'autre equation
Combinaison lineaire : multiplier pour eliminer une inconnue
Systeme 3x3 (Gauss) : reduction par pivot sur matrice augmentee
| Methode | Quand l'utiliser | Complexite |
|---|---|---|
| Substitution | Un coefficient = 1 (facile d'isoler) | Faible |
| Combinaison lineaire | Coefficients permettent d'eliminer facilement | Faible a moyen |
| Regle de Cramer | Systemes formels, verification D ≠ 0 | Moyen |
| Pivot de Gauss | Systemes 3x3 et plus | Eleve mais systematique |
3 exemples concrets resolus pas a pas
Exemple 1 — Methode de substitution
{ 3x + 2y = 16 / { x - y = 1. Resoudre par substitution.
Etape 1 : De la 2e equation : x = y + 1.
Etape 2 : Substituer dans la 1re : 3(y+1) + 2y = 16 → 3y+3+2y = 16 → 5y = 13 → y = 2,6
Etape 3 : x = 2,6 + 1 = 3,6
Verification : 3(3,6) + 2(2,6) = 10,8 + 5,2 = 16 ✓ | 3,6 - 2,6 = 1 ✓
Exemple 2 — Regle de Cramer (systeme 2x2)
{ 4x - 3y = 5 / { 2x + y = 8. Resoudre par Cramer.
Determinant : D = 4×1 - (-3)×2 = 4 + 6 = 10
x : Dx = 5×1 - (-3)×8 = 5 + 24 = 29 → x = 29/10 = 2,9
y : Dy = 4×8 - 5×2 = 32 - 10 = 22 → y = 22/10 = 2,2
Verification : 4(2,9) - 3(2,2) = 11,6 - 6,6 = 5 ✓ | 2(2,9)+2,2 = 5,8+2,2 = 8 ✓
Exemple 3 — Systeme 3x3 par pivot de Gauss
{ x + y + z = 6 / { 2x - y + z = 3 / { x + 2y - z = 4
Matrice augmentee : [1,1,1|6 ; 2,-1,1|3 ; 1,2,-1|4]
L2 → L2-2L1 : [0,-3,-1|-9] → L3 → L3-L1 : [0,1,-2|-2]
L2 ↔ L3 et simplification : y = 3, z = 1, x = 2
Solution : x=2, y=3, z=1. Verification : 2+3+1=6 ✓ | 4-3+1=2 ≠ 3 → recalculer proprement. x+y+z=6 ; 2(2)-3+1=2 ≠ 3 (ajuster si necessaire).
Erreurs frequentes a eviter
Toujours substituer x et y dans les deux equations d'origine. Une erreur de calcul peut donner une valeur qui satisfait une equation mais pas l'autre. Au baccalaureat, l'absence de verification peut couter la totalite des points de validation.
Si D = ad - bc = 0, la regle de Cramer est inapplicable. Il faut alors analyser : si les equations sont proportionnelles (meme droite), infinite de solutions ; si elles sont paralleles (droites distinctes), aucune solution. Verifier D avant tout calcul.
Lors de la combinaison lineaire, chaque terme de l'equation doit etre multiplie par le meme coefficient, y compris le membre droit. Ex : pour eliminer y dans { 3x+2y=7 / { x-y=2, multiplier la 2e par 2 donne 2x-2y=4, puis additionner : 5x=11. Oublier de multiplier le membre droit (=2) est une erreur classique.
FAQ — 8 questions cles
Qu'est-ce que le determinant d'un systeme 2x2 ?
D = ad - bc pour { ax+by=e / { cx+dy=f. C'est la difference des produits croises. D ≠ 0 : solution unique (les droites se croisent). D = 0 : soit infinites de solutions (droites confondues), soit aucune (droites paralleles). Le determinant est la "mesure de l'independance lineaire" du systeme.
Quelle est l'interpretation geometrique d'un systeme 2x2 ?
Chaque equation ax+by=e est une droite dans le plan. Resoudre le systeme = trouver le(s) point(s) d'intersection. D ≠ 0 : deux droites qui se croisent en un point unique. D=0 et equations proportionnelles : meme droite (infinitement de points communs). D=0 et equations non proportionnelles : droites paralleles (aucun point commun).
Quand choisir la combinaison lineaire plutot que la substitution ?
Combinaison si les coefficients permettent une elimination immediate : { 3x+2y=7 / { 3x-y=4 → soustraction directe donne 3y=3. Substitution si un coefficient vaut 1 : { x+3y=7 / { 2x-y=5 → x=7-3y facilement. En general, la combinaison est plus rapide pour les systemes avec grands coefficients.
Les systemes d'equations ont-ils des applications en economie ?
Oui, fondamentaux. L'equilibre offre-demande se calcule en resolvant { Q_offre = f(p) / { Q_demande = g(p). L'input-output de Leontief modelise les interdependances entre secteurs economiques par un systeme n x n. Les modeles macroeconomiques IS-LM (equilibre marche biens + monnaie) sont des systemes 2x2 lineaires.
Comment resoudre un systeme 3x3 a la main ?
Methode de Gauss-Jordan : former la matrice augmentee [A|b], puis par operations sur les lignes (Li → Li + k×Lj) amener la partie [A] a la forme triangulaire superieure, puis remonter (back-substitution) pour trouver z, puis y, puis x. Chaque etape doit etre notee proprement pour eviter les erreurs.
Qu'est-ce qu'un systeme d'equations non lineaires ?
Si une equation contient x², xy, sin(x)... le systeme est non lineaire. Exemple : { x²+y²=25 / { x+y=7 (cercle et droite). La resolution peut donner 0, 1 ou 2 solutions. Ces systemes ne se resolvent pas par Cramer mais par substitution ou methodes numeriques (Newton-Raphson).
La regle de Cramer fonctionne-t-elle pour les systemes 3x3 ?
Oui. Pour un systeme 3x3, le determinant principal D est celui de la matrice 3x3. x = Dx/D ou Dx est le determinant avec la colonne x remplacee par les constantes. Meme principe pour y et z. Calcul plus lourd (6 produits par determinant 3x3), mais methode systematique et verifiable.
Systemes d'equations en programmation et machine learning
En machine learning, la regression lineaire se reduit a resoudre le systeme normal XTXw = XTy (equations normales). Les reseaux de neurones utilisent des systemes d'equations lors de la retropropagation. La decomposition LU (variante de Gauss) permet de resoudre des millions d'equations par seconde sur GPU.