Combinatoire — arrangements, permutations, combinaisons
📌 En bref : Les probabilités mesurent la chance qu'un événement se produise, sur une échelle de 0 à 1. Formule de base : P(A) = cas favorables / cas possibles.
La combinatoire compte le nombre de cas possibles. Indispensable en probabilités, statistiques et mathématiques.
TL;DR
- Permutations : n! ; Arrangements : A(n,k) = n!/(n−k)!
- Combinaisons : C(n,k) = n!/(k!·(n−k)!) (l'ordre ne compte pas)
- Choisir selon ordre/remise ; la binomiale utilise C(n,k)
Définitions
- Permutation de n éléments : n!
- Arrangement de n éléments pris k à k (ordre important) : A(n,k)=n!/(n−k)!
- Combinaison de n éléments pris k à k (ordre non important) : C(n,k)=n!/(k!(n−k)!)
Exemples
Cartes
Nombre de mains de 5 cartes dans un jeu de 52 : C(52,5)
Classement
Podium (1er,2e,3e) parmi 10 participants : A(10,3)=10·9·8
Organisation
Nombre de façons d’assigner 4 tâches à 4 personnes : 4!
Conseils pratiques
- Commencez par décider si l’ordre compte
- Avec ou sans remise ?
- Schématisez vos données avant le calcul
Tableau récapitulatif des formules
| Type | Ordre | Remise | Formule |
|---|---|---|---|
| Permutation | Oui | Non | n! |
| Arrangement | Oui | Non | A(n,k) = n!/(n-k)! |
| Combinaison | Non | Non | C(n,k) = n!/(k!(n-k)!) |
| Arrangement avec remise | Oui | Oui | n^k |
| Combinaison avec remise | Non | Oui | C(n+k-1,k) |
Valeurs courantes de factorielles
| n | n! | Exemple d'usage |
|---|---|---|
| 3 | 6 | Podium 3 personnes |
| 4 | 24 | Ordre 4 cartes |
| 5 | 120 | Anagrammes 5 lettres |
| 6 | 720 | Loto 6 numéros |
| 10 | 3 628 800 | Classement 10 équipes |
Applications concrètes
- Loto : C(49,6) = 13 983 816 combinaisons possibles
- Poker : C(52,5) = 2 598 960 mains possibles
- Code PIN 4 chiffres : 10^4 = 10 000 codes (arrangement avec remise)
- Mot de passe 8 caractères : 62^8 ≈ 218 billions (lettres + chiffres)
- Tirage sans remise : A(10,3) = 720 façons de tirer 3 boules parmi 10
Propriétés utiles de C(n,k)
- Symétrie : C(n,k) = C(n,n-k). Exemple : C(10,3) = C(10,7)
- Cas limites : C(n,0) = C(n,n) = 1
- Récurrence : C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k) (triangle de Pascal)
- Somme : C(n,0) + C(n,1) + ... + C(n,n) = 2^n
FAQ
Quand utiliser C(n,k) plutôt que A(n,k) ?
Si l’ordre ne compte pas, utilisez C(n,k). Sinon, A(n,k).
Que signifie n! ?
n! (factorielle) est le produit 1×2×...×n.
Comment éviter les erreurs ?
Vérifiez ordre/remise, puis appliquez la formule. Testez sur de petits n.