Aire d'un Triangle Équilatéral
Calculez l'aire, la hauteur, le périmètre et les rayons inscrit/circonscrit d'un triangle équilatéral à partir de son côté.
- Aire : A = (√3 / 4) × a²
- Hauteur : h = (√3 / 2) × a ≈ 0,866a
- Périmètre : P = 3a
- Tous les angles = 60°
Calculateur — Triangle Équilatéral
La formule de l'aire
L'aire d'un triangle équilatéral de côté a se calcule avec la formule A = (√3 / 4) × a². Cette formule découle de la formule générale de l'aire d'un triangle (base × hauteur / 2) combinée avec la hauteur du triangle équilatéral h = (√3/2) × a :
√3/4 ≈ 0,4330 est le facteur numérique caractéristique du triangle équilatéral. Pour a = 10, l'aire est 0,4330 × 100 ≈ 43,30 unités².
La hauteur du triangle équilatéral
Dans un triangle équilatéral, la hauteur est aussi la médiane et la médiatrice. Elle coupe la base en deux moitiés égales de longueur a/2. Par le théorème de Pythagore, la hauteur h vérifie h² + (a/2)² = a², donc h² = a² − a²/4 = 3a²/4, soit h = (√3/2) × a. Cette hauteur vaut environ 86,6% du côté.
Rayons inscrit et circonscrit
Le triangle équilatéral a des rayons particulièrement simples à calculer. Le rayon du cercle inscrit (cercle tangent aux 3 côtés) est r = a / (2√3) = a√3/6 ≈ 0,2887a. Le rayon du cercle circonscrit (cercle passant par les 3 sommets) est R = a / √3 = a√3/3 ≈ 0,5774a. On remarque que R = 2r, ce qui est une propriété du triangle équilatéral.
Table de valeurs
| Côté a | Aire | Hauteur | Périmètre |
|---|---|---|---|
| 1 | 0,4330 | 0,8660 | 3 |
| 2 | 1,7321 | 1,7321 | 6 |
| 5 | 10,825 | 4,330 | 15 |
| 10 | 43,30 | 8,660 | 30 |
| 12 | 62,35 | 10,39 | 36 |
| 20 | 173,2 | 17,32 | 60 |
Retrouver le côté depuis l'aire
Si on connaît l'aire A et qu'on veut retrouver le côté a, on inverse la formule : a = √(4A / √3) = 2 × √(A/√3). Cette inversion est utile dans des problèmes d'optimisation ou de conception géométrique.
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Questions fréquentes
Quelle est la formule de l'aire d'un triangle équilatéral ?
A = (√3/4) × a², où a est la longueur du côté. √3/4 ≈ 0,433. Pour a = 8 cm : A = 0,433 × 64 ≈ 27,71 cm².
Comment calculer la hauteur d'un triangle équilatéral ?
h = (√3/2) × a ≈ 0,866 × a. Pour a = 10 cm : h = 8,66 cm. Cette hauteur est aussi médiane et médiatrice à la fois.
Quels sont les angles d'un triangle équilatéral ?
Trois angles de 60° chacun. La somme fait 180°. C'est le seul type de triangle à la fois équilatéral (côtés égaux) et équiangle (angles égaux).
Quelle est la différence entre équilatéral et équiangle ?
Pour les triangles, ces deux notions sont équivalentes : 3 côtés égaux ↔ 3 angles égaux de 60°. Pour d'autres polygones, ce n'est pas forcément le cas (exemple : un rectangle est équiangle mais pas équilatéral).
Comment trouver le côté depuis l'aire ?
a = 2 × √(A / √3). Pour A = 20 cm² : a = 2 × √(20/1,732) = 2 × √11,547 = 2 × 3,398 ≈ 6,80 cm.