Calculez Coordonnées Vecteur AB — Norme et Milieu
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📌 En bref : Vecteur AB = (x₂−x₁ ; y₂−y₁). Norme : ‖AB‖ = √[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²]. Milieu M = ((x₁+x₂)/2 ; (y₁+y₂)/2).
Calculateur de Vecteur
Point A
Point B
Formules des vecteurs en géométrie analytique
| Grandeur | Formule |
|---|---|
| Coordonnées de AB | AB = (x₂−x₁ ; y₂−y₁) |
| Norme (longueur) | ‖AB‖ = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²] |
| Milieu de [AB] | M = ((x₁+x₂)/2 ; (y₁+y₂)/2) |
| Vecteur unitaire | u = AB / ‖AB‖ |
| Produit scalaire | AB·CD = (x₂−x₁)(x₄−x₃) + (y₂−y₁)(y₄−y₃) |
En 3D (espace)
Les mêmes formules s'étendent à l'espace : AB = (x₂−x₁ ; y₂−y₁ ; z₂−z₁) et ‖AB‖ = √[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²+(z₂−z₁)²].
Propriétés des vecteurs
Les vecteurs sont des objets mathématiques définis par une direction, un sens et une norme (longueur). Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées.
- Vecteurs colinéaires : AB et CD sont colinéaires si et seulement si (x₂−x₁)(y₄−y₃) − (y₂−y₁)(x₄−x₃) = 0
- Vecteurs perpendiculaires : AB ⊥ CD si leur produit scalaire = 0
- Vecteur nul : coordonnées (0 ; 0), le point de départ = le point d'arrivée
- Translation : appliquer le vecteur AB à un point P donne P' = (px + (x₂−x₁) ; py + (y₂−y₁))
Les vecteurs sont au programme du collège (4ème-3ème) et du lycée (Seconde à Terminale, programme Éduscol, Ministère Éducation nationale). Ils sont fondamentaux en physique (forces, vitesses, champs).
Addition et multiplication par un scalaire
- Addition : u + v = (ux+vx ; uy+vy)
- Soustraction : u − v = (ux−vx ; uy−vy)
- Multiplication : k × u = (k×ux ; k×uy)
- Opposé : −u = (−ux ; −uy) = vecteur BA
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Applications des vecteurs
Les vecteurs interviennent dans de nombreux domaines :
- Physique : représentation des forces, vitesses, accélérations
- Informatique graphique : déplacements dans un repère 2D/3D, moteurs de jeux
- Navigation : cap, vitesse et direction d'un avion ou bateau
- Robotique : calcul des trajectoires et mouvements de bras robotiques
- Géodésie : calcul de distances entre deux points GPS
📐 Manuels de mathématiques — Vecteurs et géométrie
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Comment calculer les coordonnées du vecteur AB ?
AB = (x_B − x_A ; y_B − y_A). Exemple : A(1,2) et B(5,6) → AB = (5−1 ; 6−2) = (4 ; 4). On soustrait toujours les coordonnées du point de départ A de celles du point d'arrivée B.
Comment calculer la norme (longueur) d'un vecteur ?
‖AB‖ = √(Δx² + Δy²). Avec AB = (4 ; 4) : ‖AB‖ = √(16 + 16) = √32 = 4√2 ≈ 5,66. C'est la distance entre les points A et B (formule de distance).
Comment trouver le milieu d'un segment [AB] ?
M = ((x_A + x_B)/2 ; (y_A + y_B)/2). Avec A(1,2) et B(5,6) : M = ((1+5)/2 ; (2+6)/2) = (3 ; 4). Le milieu est le point équidistant des deux extrémités.
Quelle est la différence entre vecteur et point ?
Un point est une position dans le repère (coordonnées absolues). Un vecteur est un déplacement (coordonnées relatives). Le vecteur AB représente le déplacement de A vers B. Deux vecteurs égaux peuvent avoir des positions différentes dans le plan.
Comment vérifier si deux vecteurs sont colinéaires ?
AB(a;b) et CD(c;d) sont colinéaires si a×d − b×c = 0 (déterminant nul). Exemples : (2;4) et (1;2) → 2×2 − 4×1 = 0 → colinéaires. (1;2) et (3;5) → 1×5 − 2×3 = −1 ≠ 0 → non colinéaires.
3 erreurs fréquentes sur les vecteurs
Erreur 1 — Inverser A et B dans les coordonnées. Les coordonnées du vecteur AB = (xB − xA ; yB − yA), et non (xA − xB ; yA − yB). L'ordre est crucial : on part de A pour aller vers B, donc on soustrait les coordonnées de A de celles de B. Le vecteur BA est l'opposé : BA = −AB.
Erreur 2 — Confondre distance et norme. La distance entre A et B est un scalaire (nombre) égal à ‖AB‖. Le vecteur AB est un objet mathématique avec une direction et un sens. ‖AB‖ = ‖BA‖ (la distance est symétrique) mais AB ≠ BA (les vecteurs ont des sens opposés).
Erreur 3 — Confondre coordonnées du milieu et coordonnées du vecteur. Le milieu M de [AB] a pour coordonnées ((xA+xB)/2 ; (yA+yB)/2) : c'est une moyenne. Les coordonnées du vecteur AB sont (xB−xA ; yB−yA) : c'est une différence. Ces deux formules sont fondamentalement différentes.
3 exemples concrets
Exemple 1 — Physique (forces). Un objet est au point A(2 ; 3) et une force l'emmène en B(7 ; 8). Le déplacement est le vecteur AB = (7−2 ; 8−3) = (5 ; 5). La distance parcourue vaut ‖AB‖ = √(25+25) = 5√2 ≈ 7,07 unités.
Exemple 2 — Géodésie. Deux villes ont des coordonnées GPS (en km projetées) : A(48,5 ; 2,3) et B(43,3 ; 5,4). Vecteur AB = (−5,2 ; 3,1). Distance = √(27,04 + 9,61) ≈ 6,05 km (exemple simplifié en 2D).
Exemple 3 — Jeux vidéo. Un personnage est en A(100 ; 200) pixels et doit aller en B(350 ; 450). Vecteur déplacement = (250 ; 250), norme = 353 pixels. Vecteur unitaire = (250/353 ; 250/353) ≈ (0,707 ; 0,707) — déplacement normalisé à vitesse constante.
Tableau récapitulatif — Formules essentielles sur les vecteurs
| Grandeur | Formule (2D) | Programme scolaire |
|---|---|---|
| Coordonnées AB | (xB−xA ; yB−yA) | 4ème–Seconde |
| Norme ‖AB‖ | √[(xB−xA)²+(yB−yA)²] | Seconde–Terminale |
| Milieu M de [AB] | ((xA+xB)/2 ; (yA+yB)/2) | 4ème–Seconde |
| Vecteur unitaire | AB / ‖AB‖ | CPGE/Sup |
| Colinéarité | xAB × yCD − yAB × xCD = 0 | Première–Terminale |
| Produit scalaire | xAB×xCD + yAB×yCD | Terminale |
Questions fréquentes
Qu'est-ce que le produit scalaire entre deux vecteurs ?
Le produit scalaire AB⋅CD = xAB×xCD + yAB×yCD (en coordonnées). Géométriquement : AB⋅CD = ‖AB‖ × ‖CD‖ × cos(θ) où θ est l'angle entre les vecteurs. Si le produit scalaire est nul, les vecteurs sont orthogonaux (perpendiculaires). Exemple : (3;4)⋅(4;−3) = 12−12 = 0 → perpendiculaires.
Comment calculer un vecteur en 3D ?
Les formules s'étendent naturellement : AB = (xB−xA ; yB−yA ; zB−zA). Norme : ‖AB‖ = √(Δx² + Δy² + Δz²). En 3D, on peut aussi calculer le produit vectoriel AB × CD qui donne un vecteur perpendiculaire aux deux vecteurs.
Comment normaliser un vecteur (obtenir un vecteur unitaire) ?
Un vecteur unitaire a une norme de 1. Pour normaliser AB(a;b) : ū = (a/‖AB‖ ; b/‖AB‖). Exemple : AB = (3;4), ‖AB‖ = 5 → ū = (0,6 ; 0,8). Les vecteurs unitaires sont utilisés pour indiquer des directions sans information de longueur.
Comment trouver l'angle entre deux vecteurs ?
cos(θ) = (u⋅v) / (‖u‖ × ‖v‖). Avec u = (1;0) et v = (1;1) : u⋅v = 1, ‖u‖ = 1, ‖v‖ = √2 → cos(θ) = 1/√2 → θ = 45°. Cette formule est fondamentale pour les problèmes de géométrie vectorielle en Terminale.
Les vecteurs sont-ils au programme du bac ?
Oui. Les vecteurs sont introduits dès la 4ème (BO 2020). En Seconde : coordonnées, norme, colinéarité. En Première et Terminale : produit scalaire, angle, droites et plans dans l'espace (3D). Les vecteurs sont au cœur de la géométrie analytique et des exercices de bac de mathématiques.
Comment utiliser les vecteurs pour prouver que quatre points forment un parallélogramme ?
ABCD est un parallélogramme si et seulement si AB = DC (mêmes coordonnées). En pratique : calculer AB = (xB−xA ; yB−yA) et DC = (xC−xD ; yC−yD). Si AB = DC, c'est un parallélogramme. Autre méthode : les diagonales AC et BD ont le même milieu.
Quelle est la différence entre vecteur et scalaire ?
Un scalaire est un nombre (température, masse, distance). Un vecteur a une valeur numérique mais aussi une direction et un sens (force, vitesse, déplacement). En physique, la distinction est cruciale : une vitesse de 60 km/h vers le nord est un vecteur, mais une distance de 60 km est un scalaire.
Comment construire un vecteur à partir de son angle et de sa norme (forme polaire) ?
Si ‖v‖ = r et angle α : vx = r × cos(α), vy = r × sin(α). Inversement : r = √(vx²+vy²), α = arctan(vy/vx) (attention au quadrant). En physique, la décomposition d'une force F selon un axe incliné utilise exactement cette formule : Fx = F cos(α), Fy = F sin(α).
Auteur : Mehdi Kabbaj, ingénieur — Formules conformes au programme officiel Éduscol du Ministère de l'Éducation nationale (BO 2020, du collège à la Terminale). Notation vectorielle standard issue des référentiels MPSI/PCSI.
