Calculateur Période d'Oscillation — Pendule et Masse-Ressort
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Calculez la période d'un pendule simple (T=2π√(L/g)) et d'un oscillateur masse-ressort (T=2π√(m/k)). Fréquence propre, applications.
- Pendule : T = 2π × √(L/g)
- Masse-ressort : T = 2π × √(m/k)
- g = 9,81 m/s² ; f₀ = 1/T (Hz)
- Pendule de 1 m → T ≈ 2,006 s
- Indépendant de la masse (pendule) et de g (ressort)
Calculateur Oscillations
Pendule simple : la formule de Huygens
Le pendule simple est un modèle idéal : une masse ponctuelle suspendue par un fil inextensible et sans masse. Pour de petites amplitudes (<15°), la période est indépendante de l'amplitude — c'est l'isochronisme découvert par Galilée et formalisé par Huygens :
Cette propriété a rendu le pendule indispensable pour mesurer le temps pendant des siècles. Une horloge à balancier avec une demi-période de 1 seconde (T = 2 s) nécessite L = g × T² / (4π²) = 9,81 × 4 / (39,48) ≈ 0,994 m ≈ 99,4 cm.
Oscillateur masse-ressort : la loi de Hooke
Un ressort de raideur k (N/m) portant une masse m (kg) oscille avec une période :
La pulsation propre est ω₀ = 2π/T = √(k/m) et la fréquence propre f₀ = 1/(2π) × √(k/m). Contrairement au pendule, ce système est indépendant de g — il oscille de la même façon dans l'espace.
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Périodes d'oscillation comparées
| Système | Paramètres | Période |
|---|---|---|
| Pendule horloge | L = 0,994 m, g = 9,81 | T ≈ 2,00 s |
| Pendule de Foucault | L = 67 m, g = 9,81 | T ≈ 16,4 s |
| Masse-ressort (voiture) | m = 400 kg, k = 25 000 N/m | T ≈ 0,795 s |
| Diapason La 440 Hz | f = 440 Hz | T ≈ 2,27 ms |
| Microprocesseur 3 GHz | f = 3×10⁹ Hz | T ≈ 0,33 ns |
3 exemples concrets de calcul de période
Exemple 1 — Pendule d'horloge comtoise. Une horloge comtoise traditionnelle bat la seconde : chaque aller (demi-oscillation) dure 1 s, donc T = 2 s. En appliquant la formule inversée, L = g × T² / (4π²) = 9,81 × 4 / 39,48 ≈ 0,994 m. Le balancier mesure donc environ 99,4 cm — c'est pourquoi ces horloges ont leur boîtier caractéristique d'un mètre de haut.
Exemple 2 — Suspension d'un véhicule (masse-ressort). Une roue de voiture équivaut à une masse de 400 kg suspendue par un amortisseur-ressort de raideur k = 25 000 N/m. T = 2π × √(400/25 000) = 2π × 0,1265 ≈ 0,795 s, soit f₀ ≈ 1,26 Hz. C'est dans cette gamme que le corps humain perçoit les vibrations comme inconfortables (1-2 Hz) — les ingénieurs automobiles travaillent à dépasser 1,3 Hz pour le confort.
Exemple 3 — Pendule sur la Lune. Sur la Lune, g = 1,62 m/s². Un pendule de L = 0,994 m donne T = 2π × √(0,994/1,62) = 2π × 0,784 ≈ 4,93 s — soit 2,46 fois plus lent que sur Terre. Un astronaute qui emporte une horloge à pendule sur la Lune la verrait ralentir considérablement : une heure terrestre prendrait environ 2 h 27 min lunaires.
3 erreurs fréquentes dans le calcul de période
Erreur 1 — Confondre la longueur du fil et la hauteur de chute. Dans la formule T = 2π√(L/g), L est la longueur du fil jusqu'au centre de masse du pendule, pas la distance de chute ou l'amplitude. Si la masse est une boule de rayon r = 3 cm et que le fil mesure 97 cm, la longueur effective est L = 0,97 + 0,03 = 1,00 m. Utiliser 0,97 m introduit une erreur de 1,5% sur la période.
Erreur 2 — Oublier que l'isochronisme n'est valable que pour de petits angles. La formule T = 2π√(L/g) suppose un angle d'oscillation inférieur à environ 15°. Pour un angle de 30°, la période réelle est 1,7% plus longue ; pour 60°, elle est 7% plus longue. En TP de physique, si l'on lâche le pendule d'un angle trop grand, les mesures s'écarteront de la valeur théorique.
Erreur 3 — Appliquer la formule pendule à un oscillateur masse-ressort. Certains élèves utilisent T = 2π√(L/g) quand on leur donne une masse et une raideur. La bonne formule est T = 2π√(m/k). Ces deux systèmes ont des comportements distincts : la période du pendule dépend de g et de L ; celle du ressort ne dépend que de m et k. Sur la Lune, le pendule ralentit, le ressort-masse garde exactement la même période.
| Système | Paramètres | Période (Terre) | Période (Lune) |
|---|---|---|---|
| Pendule de 25 cm | L = 0,25 m | T ≈ 1,00 s | T ≈ 2,47 s |
| Pendule de 1 m | L = 1,00 m | T ≈ 2,01 s | T ≈ 4,94 s |
| Masse 0,5 kg, k=20 N/m | m/k = 0,025 | T ≈ 0,994 s | T ≈ 0,994 s |
| Masse 2 kg, k=50 N/m | m/k = 0,04 | T ≈ 1,257 s | T ≈ 1,257 s |
| Suspension voiture | m=400 kg, k=25 000 | T ≈ 0,795 s | T ≈ 0,795 s |
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Questions fréquentes
Quelle est la formule de la période d'un pendule simple ?
T = 2π × √(L/g) avec L la longueur en m et g = 9,81 m/s². Pour L = 0,25 m : T = 2π × √(0,25/9,81) = 2π × 0,1597 ≈ 1,003 s. La période est indépendante de la masse et de l'amplitude (pour de petits angles).
De quoi dépend la période d'un pendule ?
Uniquement de la longueur L et de g. Plus L est grand, plus T est grand. Plus g est grand (planète massive), plus T est petit. La masse du pendule n'intervient pas (principe d'équivalence de Galilée). Pour doubler la période, il faut quadrupler la longueur.
Quelle est la différence entre période et fréquence ?
T (période, en s) = durée d'un cycle complet. f (fréquence, en Hz) = nombre de cycles par seconde. T = 1/f et f = 1/T. Exemple : T = 0,5 s → f = 2 Hz. Pour un pendule de 1 m : T ≈ 2,006 s → f ≈ 0,499 Hz ≈ 0,5 Hz.
Pourquoi l'oscillateur masse-ressort est-il indépendant de g ?
La restauration est assurée par la force élastique F = -kx (proportionnelle à l'écart de la position d'équilibre), indépendante de la pesanteur. La position d'équilibre se décale avec g, mais la dynamique des oscillations autour de cet équilibre ne dépend que de m et k. Un ressort-masse oscille à la même fréquence sur Terre, sur la Lune ou dans l'espace.
Qu'est-ce que la résonance et pourquoi est-elle dangereuse ?
Quand une force extérieure périodique excite un système à sa fréquence propre f₀, les oscillations s'amplifient indéfiniment (sans amortissement). En réalité l'amortissement limite l'amplitude à un pic très élevé. Exemples de dommages : pont de Tacoma (1940, effondrement par résonance aéroélastique), bâtiments lors de séismes quand la fréquence du sol ≈ fréquence propre du bâtiment.
Comment calculer la pulsation propre ω₀ d'un oscillateur ?
La pulsation propre est ω₀ = 2π/T = 2πf₀. Pour un pendule : ω₀ = √(g/L). Pour un ressort : ω₀ = √(k/m). Exemple : ressort k = 100 N/m, m = 0,5 kg → ω₀ = √(100/0,5) = √200 ≈ 14,14 rad/s → T = 2π/14,14 ≈ 0,444 s.
Comment mesurer la raideur d'un ressort avec un pendule ?
On ne peut pas mesurer k avec un pendule. Pour mesurer k, on utilise deux méthodes : statique (accrocher une masse connue m, mesurer l'allongement Δx → k = mg/Δx) ou dynamique (mesurer la période T → k = 4π²m/T²). La méthode dynamique est plus précise car elle moyenne sur plusieurs oscillations.
Quelle est la période d'un pendule sur d'autres planètes ?
Sur Mars (g ≈ 3,72 m/s²), T = 2π√(1/3,72) ≈ 3,26 s pour L = 1 m. Sur Jupiter (g ≈ 24,8 m/s²), T ≈ 1,26 s. Sur la Lune (g ≈ 1,62 m/s²), T ≈ 4,94 s. La période est proportionnelle à 1/√g : doubler g divise la période par √2 ≈ 1,41.
