La dérivée : définition et sens géométrique
La dérivée d'une fonction f en un point x₀ mesure le taux de variation instantané de cette fonction. Géométriquement, f'(x₀) représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse x₀. Cette notion, introduite indépendamment par Newton (sous le nom de "fluxion") et Leibniz au XVIIe siècle, est l'un des fondements du calcul infinitésimal.
Par définition, la dérivée en x₀ est la limite du taux d'accroissement :
f'(x₀) = limh→0 [ f(x₀ + h) − f(x₀) ] / h
Lorsque cette limite existe, on dit que f est dérivable en x₀. Une fonction dérivable est nécessairement continue, mais la réciproque est fausse — la fonction valeur absolue est continue en 0 mais non dérivable en ce point.
Tableau des dérivées usuelles
Voici les formules fondamentales à maîtriser pour le lycée et les classes préparatoires :
| Fonction f(x) | Dérivée f'(x) | Domaine de dérivabilité |
|---|---|---|
| k (constante) | 0 | ℝ |
| xⁿ (n ∈ ℤ) | n·xⁿ⁻¹ | ℝ (si n ≥ 1), ℝ* (si n ≤ 0) |
| √x | 1 / (2√x) | ]0 ; +∞[ |
| eˣ | eˣ | ℝ |
| ln(x) | 1/x | ]0 ; +∞[ |
| sin(x) | cos(x) | ℝ |
| cos(x) | −sin(x) | ℝ |
| tan(x) | 1 + tan²(x) = 1/cos²(x) | ℝ \ {π/2 + kπ} |
Les règles de dérivation
La puissance du calcul différentiel vient des règles opératoires qui permettent de dériver des fonctions complexes à partir de fonctions simples.
Linéarité
La dérivation est une opération linéaire. Pour toutes fonctions f et g dérivables et tout réel λ :
(f + g)' = f' + g' et (λf)' = λ·f'
Règle du produit
Si f et g sont dérivables sur un intervalle I :
(f · g)' = f' · g + f · g'
Exemple : f(x) = x² · sin(x). On pose u = x², v = sin(x), donc u' = 2x, v' = cos(x).
f'(x) = 2x·sin(x) + x²·cos(x).
Règle du quotient
(f / g)' = (f'·g − f·g') / g²
Exemple : f(x) = (2x + 1) / (x − 3). Numérateur : u = 2x+1, dénominateur : v = x−3.
f'(x) = [2·(x−3) − (2x+1)·1] / (x−3)² = (2x−6−2x−1) / (x−3)² = −7 / (x−3)².
Règle de la chaîne (dérivée d'une composée)
C'est la règle la plus utilisée en terminale et en supérieur :
(f ∘ g)'(x) = f'(g(x)) · g'(x)
En notation u : si u est une expression en x, alors :
- (uⁿ)' = n · uⁿ⁻¹ · u'
- (eᵘ)' = u' · eᵘ
- (ln u)' = u' / u
- (√u)' = u' / (2√u)
Méthode pas à pas : dériver f(x) = (3x² − 5)⁴
On applique la règle (uⁿ)' = n·uⁿ⁻¹·u' avec u = 3x² − 5 et n = 4.
- Identifier u et n : u = 3x² − 5, n = 4.
- Calculer u' : u' = 6x.
- Appliquer la formule : f'(x) = 4 · (3x² − 5)³ · 6x.
- Simplifier : f'(x) = 24x · (3x² − 5)³.
Applications de la dérivée : étude de fonctions
En terminale, la dérivée est l'outil central pour étudier les variations d'une fonction. Le signe de f'(x) détermine les monotonies :
- f'(x) > 0 sur un intervalle → f est strictement croissante sur cet intervalle.
- f'(x) < 0 sur un intervalle → f est strictement décroissante sur cet intervalle.
- f'(x) = 0 en x₀ → x₀ est un candidat extremum (il faut vérifier le changement de signe).
Exemple complet : étude de f(x) = x³ − 3x² + 2 sur ℝ.
- f'(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2).
- f'(x) = 0 pour x = 0 ou x = 2.
- Signe de f' : positif sur ]−∞; 0[, négatif sur ]0; 2[, positif sur ]2; +∞[.
- Donc f admet un maximum local en x = 0 avec f(0) = 2, et un minimum local en x = 2 avec f(2) = 2 − 12 + 2 = −8+2 = −6.
Dérivée seconde et convexité
La dérivée seconde f''(x) = (f')'(x) renseigne sur la convexité de la courbe :
- f''(x) > 0 → f est convexe (courbe en forme de sourire) → f' est croissante.
- f''(x) < 0 → f est concave (courbe en forme de chapeau) → f' est décroissante.
- Point d'inflexion : point où f'' change de signe, la tangente traverse la courbe.
Erreurs classiques à éviter
Erreur 1 : Oublier u' dans la règle de la chaîne. (sin(x²))' ≠ cos(x²) — il faut multiplier par 2x.
Erreur 2 : Confondre (fg)' et f'g'. Le produit de dérivées n'est PAS la dérivée du produit.
Erreur 3 : Dériver ln(x) en x (au lieu de 1/x). La dérivée de ln est 1/x, pas x.
Erreur 4 : Oublier que la dérivée de eˣ est eˣ (et non x·eˣ⁻¹ — règle xⁿ non applicable ici).
Questions fréquentes sur le calcul de dérivées
Comment dériver une fonction avec notre calculateur en ligne ?
Entrez l'expression de votre fonction dans le champ prévu (par exemple : 3*x^2 - 5*x + 2). Notre outil applique automatiquement les règles de dérivation usuelles et affiche le résultat avec le détail de chaque étape. Idéal pour vérifier ses calculs avant un contrôle.
Quelle est la différence entre dérivée et primitive ?
La dérivation et l'intégration (primitive) sont des opérations inverses l'une de l'autre — c'est le théorème fondamental de l'analyse. Si F'(x) = f(x), alors F est une primitive de f. Par exemple, la dérivée de x³ est 3x², et une primitive de 3x² est x³ + C (C constante d'intégration).
Peut-on dériver une fonction non continue ?
Non. La continuité est une condition nécessaire (mais pas suffisante) à la dérivabilité. Une fonction discontinue en x₀ n'est jamais dérivable en ce point. En revanche, une fonction continue peut ne pas être dérivable (exemple : f(x) = |x| en x = 0).
