Calcul de Primitives — Tableau des Primitives Usuelles & Méthodes de
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⚡ En bref
A propos de cet outil
Auteur : Equipe MaCalculatrice - Experts en Algebre
Mise a jour : 2026-02-27
Source : donnees officielles en vigueur au 1er janvier 2026.
Source : programme officiel BO special n7 du 30 juillet 2020 et referentiel de competences.
Source : macalculatriceenligne.com — Baremes et donnees 2026
🅾 Calculateur de primitives par méthode
Sélectionnez la forme de votre intégrande et obtenez la primitive avec la méthode appliquée.
📚 Méthodes de calcul de primitives : guide complet
Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante : F(x) + C, C ∈ ℝ.
1. Primitives directes (tableau)
| f(x) | F(x) = ∫f(x)dx | Condition |
|---|---|---|
| xⁿ | xⁿ⁺¹/(n+1) + C | n ≠ −1 |
| 1/x | ln|x| + C | x ≠ 0 |
| eˣ | eˣ + C | – |
| e^(ax) | (1/a)e^(ax) + C | a ≠ 0 |
| sin(x) | −cos(x) + C | – |
| cos(x) | sin(x) + C | – |
| sin(ax) | −(1/a)cos(ax) + C | a ≠ 0 |
| cos(ax) | (1/a)sin(ax) + C | a ≠ 0 |
| 1/x² | −1/x + C | x ≠ 0 |
| √x | (2/3)x^(3/2) + C | x ≥ 0 |
| 1/(1+x²) | arctan(x) + C | – |
| 1/√(1−x²) | arcsin(x) + C | |x| < 1 |
2. Intégration par parties (IPP)
Règle LIATE : Logarithme > Inverse trig > Algébrique > Trig > Exponentielle → choisir u dans cet ordre
| Intégrande | u = | v' = | Résultat |
|---|---|---|---|
| x·eˣ | x | eˣ | eˣ(x−1) + C |
| ln(x) | ln(x) | 1 | x·ln(x) − x + C |
| x·sin(x) | x | sin(x) | −x·cos(x) + sin(x) + C |
| x²·eˣ | x² | eˣ | eˣ(x²−2x+2) + C |
3. Substitution (changement de variable)
Condition : reconnaître g'(x) facteur dans l'intégrande (à un scalaire près)
| Intégrande | Substitution u = | Résultat |
|---|---|---|
| ∫2x·e^(x²) dx | u = x², du = 2x dx | e^(x²) + C |
| ∫cos(x)·e^(sin x) dx | u = sin(x), du = cos(x)dx | e^(sin x) + C |
| ∫x/√(x²+1) dx | u = x²+1, du = 2x dx | √(x²+1) + C |
| ∫tan(x) dx | u = cos(x), du = −sin(x)dx | −ln|cos(x)| + C |
4. Décomposition en fractions partielles
1/(x²−1) = 1/[(x−1)(x+1)] → A/(x−1) + B/(x+1) → intégrer terme par terme
| Forme de Q(x) | Décomposition | Primitive |
|---|---|---|
| (x−a)(x−b), a≠b | A/(x−a) + B/(x−b) | A·ln|x−a| + B·ln|x−b| + C |
| (x−a)² | A/(x−a) + B/(x−a)² | A·ln|x−a| − B/(x−a) + C |
| x²+bx+c irréd. | (Ax+B)/(x²+bx+c) | arctan ou ln selon forme |
📝 3 exemples concrets résolus
Exemple 1 — Physique : énergie potentielle élastique
Problème : La force d'un ressort est F(x) = −kx (loi de Hooke, k = 50 N/m). Calculer l'énergie potentielle E(x) = −∫F(x)dx avec E(0) = 0.
Calcul :
- ∫(−(−kx)) dx = ∫kx dx
- = k · x²/2 + C = 50 · x²/2 + C = 25x² + C
- Condition initiale : E(0) = 0 → 25·0 + C = 0 → C = 0
- E(x) = 25x² (en joules, x en mètres)
- Vérification : E'(x) = 50x = kx ✓ (énergie croît avec l'élongation)
Exemple 2 — Économie : coût total depuis le coût marginal
Problème : Le coût marginal d'une entreprise est Cm(q) = 3q² − 8q + 10 (€/unité). Trouver le coût total CT(q) sachant que CT(0) = 500 € (coûts fixes).
Calcul :
- CT(q) = ∫Cm(q) dq = ∫(3q² − 8q + 10) dq
- = 3q³/3 − 8q²/2 + 10q + C = q³ − 4q² + 10q + C
- Condition : CT(0) = 500 → 0 − 0 + 0 + C = 500 → C = 500
- CT(q) = q³ − 4q² + 10q + 500
- Pour q = 10 : CT(10) = 1000 − 400 + 100 + 500 = 1 200 €
Exemple 3 — Bac S : primitive par parties de x·ln(x)
Problème : Calculer ∫x·ln(x) dx (exercice type Bac Terminale).
Méthode IPP :
- Choisir u = ln(x) (logarithme) et v' = x (algébrique) selon règle LIATE
- Alors u' = 1/x et v = x²/2
- ∫x·ln(x) dx = (x²/2)·ln(x) − ∫(x²/2)·(1/x) dx
- = (x²/2)·ln(x) − ∫(x/2) dx
- = (x²/2)·ln(x) − x²/4 + C
- F(x) = (x²/2)·ln(x) − x²/4 + C
- Vérification : F'(x) = x·ln(x) + (x²/2)·(1/x) − x/2 = x·ln(x) + x/2 − x/2 = x·ln(x) ✓
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⚠ 3 erreurs classiques à ne pas commettre
✖ ∫2x dx = x²
✔ ∫2x dx = x² + C
Pourquoi ? Toute primitive est définie à une constante près. Sur un domaine donné, (x²+5)' = 2x = (x²−3)'. Sans C, le résultat est incomplet. En physique, cette constante fixe les conditions initiales (position de départ, énergie à t=0).
✖ ∫x·eˣ dx ≠ (x²/2)·eˣ (pas le produit des primitives individuelles !)
✔ ∫x·eˣ dx = eˣ(x−1) + C (intégration par parties)
Règle : ∫f(x)·g(x) dx ≠ F(x)·G(x). La primitive d'un produit n'est PAS le produit des primitives. Il faut utiliser IPP ou substitution selon la forme.
✖ ∫e^(x²) dx ≠ e^(x²)/2x (on ne divise pas par la dérivée de la composition !)
✔ ∫e^(x²) dx n'a pas de forme close en fonctions élémentaires
Attention : La règle ∫f(ax+b) dx = F(ax+b)/a ne s'applique QUE pour les substitutions linéaires (ax+b). Pour u = x², il faut x·e^(x²) dans l'intégrande pour que la substitution fonctionne.
❓ FAQ — Calcul de primitives
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