Calcul de Vecteurs — Norme, Addition, Produit Scalaire & Opérations
⚡ En bref
Tableau de référence : calcul vecteurs
| Opération | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Carré | c² | Exemple : 4² = 16 |
| Cube | c³ | Exemple : 3³ = 27 |
| Racine | √c | Exemple : √25 = 5 |
| Puissance n | cⁿ | Exemple : 2⁵ = 32 |
En pratique, la precision requise depend du contexte. En travaux de maconnerie, on arrondit au cm. En usinage CNC, au dixieme de mm. Notre outil affiche 4 decimales ; a vous de tronquer selon votre besoin.
A propos de cet outil
Auteur : Equipe MaCalculatrice - Experts en Algebre
Mise a jour : 2026-02-27
Source : donnees officielles en vigueur au 1er janvier 2026.
Source : programme officiel BO special n7 du 30 juillet 2020 et referentiel de competences.
Source : macalculatriceenligne.com — Baremes et donnees 2026
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Calculateur de Vecteurs — Norme, Addition, AB
Saisissez les coordonnées de deux points A et B, ou deux vecteurs u et v, pour calculer toutes les propriétés.
Méthode — Formules Essentielles sur les Vecteurs
Norme : ||AB|| = √((xB-xA)² + (yB-yA)²)
Addition : u + v = (ux+vx, uy+vy)
Soustraction : u - v = (ux-vx, uy-vy)
Multiplication scalaire : k·u = (k·ux, k·uy)
| Propriété | Formule | Exemple numérique |
|---|---|---|
| Coordonnées de AB | (xB-xA, yB-yA) | A(1,2), B(4,6) → AB=(3,4) |
| Norme (module) | √(x²+y²) | ||(3,4)|| = √(9+16) = 5 |
| Vecteur unitaire | û = u / ||u|| | (3/5, 4/5) = (0.6, 0.8) |
| Addition u+v | (ux+vx, uy+vy) | (3,4)+(2,-1)=(5,3) |
| Soustraction u-v | (ux-vx, uy-vy) | (3,4)-(2,-1)=(1,5) |
| Colinéarité (2D) | ux·vy - uy·vx = 0 | (2,4) et (1,2) : 2·2-4·1=0 ✓ |
3 Exemples Concrets — Vecteurs en Action
Exemple 1 : Navigation GPS et déplacement
Un drone part du point A(0, 0) et doit rejoindre B(300, 400) en mètres. Vecteur déplacement AB = (300, 400). Distance = ||AB|| = √(90000+160000) = √250000 = 500 m. Direction unitaire = (300/500, 400/500) = (0.6, 0.8). Le drone vole à 36.87° par rapport à l'axe x (arctan(400/300)). Si on ajoute un vent v=(50, -30) m/s, la trajectoire réelle = AB + 10·v = (300+500, 400-300) = (800, 100) — le GPS recalcule en temps réel avec cette addition vectorielle.
Exemple 2 : Physique — Composition de forces
Deux câbles tirent sur une charge. Câble 1 : force F1 = (120, 80) N. Câble 2 : force F2 = (−40, 100) N. Résultante R = F1 + F2 = (120−40, 80+100) = (80, 180) N. ||R|| = √(6400+32400) = √38800 ≈ 197.0 N. Direction = arctan(180/80) ≈ 66°. Pour équilibrer la charge, il faut appliquer −R = (−80, −180) N. Cette décomposition vectorielle est la base du calcul des structures en génie civil.
Exemple 3 : Infographie 3D — Translation d'objet
Un sommet S d'un modèle 3D est à P = (1, 2, 3). On applique une translation t = (5, −1, 2). Nouvelle position : P' = P + t = (1+5, 2−1, 3+2) = (6, 1, 5). Si on enchaîne une seconde translation t2 = (−2, 3, 0), on obtient P'' = P' + t2 = (4, 4, 5). En 3D, la norme du vecteur de déplacement total = ||P''−P|| = ||(3, 2, 2)|| = √(9+4+4) = √17 ≈ 4.12 unités. Les moteurs de rendu (Unity, Blender) effectuent des millions de ces additions vectorielles par frame.
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⚠ Erreurs Fréquentes à Éviter
FAQ — Questions Fréquentes sur les Vecteurs
Comment calculer les coordonnées du vecteur AB ?
AB = (xB − xA, yB − yA). On soustrait les coordonnées du point d'arrivée B moins le point de départ A. Exemple : A(1,3) et B(5,7) → AB = (5−1, 7−3) = (4, 4). En 3D, on ajoute la composante z : AB = (xB−xA, yB−yA, zB−zA).
Quelle est la différence entre norme et module d'un vecteur ?
Norme et module désignent la même chose : la "longueur" du vecteur. Notation : ||u|| ou |u|. Pour u = (x, y) : ||u|| = √(x²+y²). En physique, on parle souvent de "module de la force" pour désigner sa valeur scalaire (sans direction). La norme est toujours positive ou nulle. ||u|| = 0 ssi u = vecteur nul.
Qu'est-ce qu'un vecteur unitaire et comment le calculer ?
Un vecteur unitaire (ou vecteur normalisé) a une norme égale à 1. û = u / ||u||. Exemple : u = (3, 4), ||u|| = 5. û = (3/5, 4/5) = (0.6, 0.8). Vérification : ||(0.6, 0.8)|| = √(0.36+0.64) = √1 = 1 ✓. Utilité : exprimer une direction pure sans magnitude, indispensable en physique et en infographie 3D.
Comment vérifier si deux vecteurs sont colinéaires ?
En 2D : u = (a, b) et v = (c, d) sont colinéaires si le déterminant ad − bc = 0. Exemple : u = (2, 6) et v = (1, 3) → 2·3 − 6·1 = 6 − 6 = 0 → colinéaires ✓. Autre méthode : si v = k·u pour un scalaire k, ils sont colinéaires. En 3D, le produit vectoriel u × v = (0, 0, 0).
Qu'est-ce que la règle de Chasles ?
La règle de Chasles énonce : pour tout points A, B, C : AB + BC = AC. Autrement dit, enchaîner les vecteurs de A à B puis de B à C donne le vecteur direct de A à C. Cas particulier : AB + BA = vecteur nul. Cette règle est fondamentale pour décomposer des déplacements complexes en étapes simples. Exemple pratique : navigation en plusieurs étapes sur une carte.
Comment multiplier un vecteur par un scalaire ?
k · u = (k·ux, k·uy). Chaque composante est multipliée par k. Si k > 0 : même direction, norme multipliée par k. Si k < 0 : direction opposée. Si k = 0 : vecteur nul. Exemple : 3·(2, −1) = (6, −3). ||3u|| = 3·||u||. La multiplication scalaire est la base des transformations géométriques (homothéties).
À quoi servent les vecteurs dans la vie réelle ?
Les vecteurs modélisent tout ce qui a une direction et une intensité : vitesses (météo, aéronautique), forces (génie civil, mécanique), champs électromagnétiques (physique), déplacements 3D (jeux vidéo, robotique), gradients (machine learning, optimisation), couleurs (RGB comme vecteur 3D), et données en NLP (word2vec — chaque mot est un vecteur en espace de haute dimension).
Quelle est la différence entre vecteur 2D et 3D ?
Un vecteur 2D a 2 composantes (x, y) et vit dans le plan. Un vecteur 3D a 3 composantes (x, y, z) et vit dans l'espace. Toutes les formules s'étendent : norme 3D = √(x²+y²+z²). Addition 3D : (a,b,c)+(d,e,f) = (a+d, b+e, c+f). En 3D, on dispose également du produit vectoriel u×v (absent en 2D) qui donne un vecteur perpendiculaire aux deux.
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