Calculer les Coordonnées d'un Vecteur : Formule, Norme et Applications

Sur un repère, un vecteur est représenté par une flèche. Ses coordonnées sont les "déplacements" : x = déplacement horizontal (droite = positif), y = déplacement vertical (haut = positif). Pour lire : regardez combien de cases vous parcourez horizontalement puis verticalement de la queue à la tête. Un vecteur allant 3 cases à droite et 2 cases en haut a pour coordonnées (3, 2).

La base canonique en 2D est formée de î = (1, 0) (vecteur unitaire horizontal) et ĵ = (0, 1) (vecteur unitaire vertical). Tout vecteur 2D s'écrit comme combinaison linéaire : (a, b) = a·î + b·ĵ. Cette écriture permet de changer de repère en changeant simplement les vecteurs de base. En 3D, on ajoute k̂ = (0, 0, 1) pour la direction verticale.

Si l'ancienne base est B = {u, v} et la nouvelle est B', on construit la matrice de passage P dont les colonnes sont les coordonnées de u et v dans B'. Les nouvelles coordonnées sont [w]_B' = P⁻¹·[w]_B. En pratique : une rotation de 45° donne P = [[cos45°, -sin45°],[sin45°, cos45°]]. Le changement de base est central en physique quantique, en traitement du signal (FFT), et en machine learning (PCA).

Oui, absolument. Les coordonnées d'un vecteur peuvent être négatives, nulles, ou décimales. Une composante négative indique simplement une direction opposée à l'axe correspondant. Exemple : (−3, 2) pointe vers la gauche et vers le haut. La norme reste toujours positive : ||(-3,2)|| = √(9+4) = √13 ≈ 3.61.

Une base est un ensemble de vecteurs linéairement indépendants qui engendrent tout l'espace. Un repère est une base à laquelle on associe un point d'origine. Les vecteurs n'ont pas de position (on peut les "translater"), mais les points ont une position absolue dans le repère. La base définit les directions ; l'origine définit où est "zéro".

Les coordonnées sont des "instructions" : "avance de x dans la direction e₁, puis y dans la direction e₂". Si les directions changent, les instructions changent. Le vecteur physique (la flèche) reste identique, mais sa description numérique dépend de la règle de mesure. C'est pourquoi on dit que les coordonnées sont relatives à une base. En physique relativiste, ce principe s'étend à 4 dimensions.

Exactement comme en 2D, en ajoutant la composante z. Si A = (x₁, y₁, z₁) et B = (x₂, y₂, z₂), alors AB = (x₂−x₁, y₂−y₁, z₂−z₁). Exemple : A(1, 0, 2) et B(4, 3, −1) → AB = (3, 3, −3). Norme = √(9+9+9) = √27 = 3√3 ≈ 5.196. Vecteur unitaire = (3, 3, −3)/(3√3) = (1/√3, 1/√3, −1/√3) ≈ (0.577, 0.577, −0.577).