Calculer avec un nombre relatif : définition et vocabulaire
Un nombre relatif est un nombre muni d'un signe (positif ou négatif). L'ensemble des nombres relatifs — noté ℤ pour les entiers relatifs — inclut les entiers positifs (+1, +2, +3...), l'entier zéro (ni positif ni négatif) et les entiers négatifs (−1, −2, −3...).
La notion de nombre relatif est introduite en 5ème en France, dans le cadre du programme de mathématiques du collège. Elle permet de représenter des grandeurs orientées : une température sous zéro, une dette financière, une altitude sous le niveau de la mer, un déplacement vers la gauche sur un axe.
Le signe d'un nombre relatif indique son sens (positif = vers le haut/droite/gain ; négatif = vers le bas/gauche/perte). La valeur absolue |a| d'un nombre relatif est sa distance à zéro, sans tenir compte du signe.
Additionner deux nombres relatifs
Il existe deux cas selon le signe des deux nombres.
Cas 1 : Même signe
On additionne les valeurs absolues et on conserve le signe commun.
(+3) + (+5) = +(3+5) = +8
(−4) + (−6) = −(4+6) = −10
Cas 2 : Signes différents
On soustrait la plus petite valeur absolue de la plus grande, et on donne le signe du nombre avec la plus grande valeur absolue.
(+8) + (−3) = +(8−3) = +5
(+2) + (−7) = −(7−2) = −5
Soustraire un nombre relatif
Soustraire un nombre relatif, c'est additionner son opposé. La règle fondamentale :
a − b = a + (−b)
Exemples :
- (+5) − (+3) = (+5) + (−3) = +2
- (+5) − (−3) = (+5) + (+3) = +8
- (−4) − (+2) = (−4) + (−2) = −6
- (−4) − (−2) = (−4) + (+2) = −2
La règle clé : soustraire un négatif revient à additionner un positif (deux signes négatifs = positif).
Multiplier et diviser des nombres relatifs
La règle des signes pour la multiplication et la division :
| Facteur 1 | Facteur 2 | Produit | Exemple |
|---|---|---|---|
| + | + | + | (+3) × (+4) = +12 |
| + | − | − | (+3) × (−4) = −12 |
| − | + | − | (−3) × (+4) = −12 |
| − | − | + | (−3) × (−4) = +12 |
Moyen mémo : même signe → produit positif ; signes différents → produit négatif. "Les opposés s'attirent, les semblables se repoussent... en nombres relatifs, les semblables donnent du positif !"
La droite des nombres relatifs
La droite numérique est le support visuel de référence pour les nombres relatifs. Elle s'étend à l'infini dans les deux directions depuis le zéro. Les nombres positifs sont à droite de zéro, les négatifs à gauche.
Comparer deux nombres relatifs : sur la droite numérique, le nombre situé le plus à droite est le plus grand. Donc −2 > −7 (car −2 est plus à droite que −7 sur la droite).
Opposé d'un nombre : l'opposé de a est −a. Ils sont symétriques par rapport à zéro. Exemple : l'opposé de +5 est −5. L'opposé de −3 est +3.
Applications concrètes des nombres relatifs
- Températures : une température de −8°C signifie 8 degrés en dessous de zéro. La variation de −8°C à +3°C est (+3) − (−8) = +11°C.
- Altitude : le point le plus bas de la Mer Morte est à −430 m. Le sommet de l'Everest est à +8 849 m. La différence est de 9 279 m.
- Finance : un solde bancaire de −350 € signifie un découvert de 350 €. Un dépôt de +500 € donne un nouveau solde de +150 €.
Trois exemples concrets d'opérations sur un nombre relatif
Exemple 1 — Variation de température
La température était de −6°C à 6h du matin. Elle a monté de +14°C dans la journée. Quelle est la température à midi ?
Calcul : (−6) + (+14) = +8. Signes différents : +(14−6) = +8°C.
Exemple 2 — Compte bancaire avec découvert
Solde : −120 €. Dépôt de +350 €. Puis retrait de −80 €. Quel est le nouveau solde ?
Calcul : (−120) + (+350) + (−80) = +350 − 120 − 80 = +150 €.
Exemple 3 — Différence d'altitude
Un plongeur est à −18 m. Un alpiniste est à +1 340 m. Quelle est la différence d'altitude ?
Calcul : (+1 340) − (−18) = +1 340 + 18 = +1 358 m. Soustraire un négatif = additionner un positif.
Tableau des règles des signes — récapitulatif complet
| Opération | Signe A | Signe B | Résultat | Exemple |
|---|---|---|---|---|
| A + B | + | + | Somme + | (+5)+(+3) = +8 |
| A + B | − | − | Somme − | (−5)+(−3) = −8 |
| A − B | + | − | + (addition) | (+5)−(−3) = +8 |
| A × B ou A ÷ B | + | − | − | (+6)×(−2) = −12 |
| A × B ou A ÷ B | − | − | + | (−6)×(−2) = +12 |
Erreurs fréquentes avec les nombres relatifs
Erreur 1 : Confondre l'opposé et la valeur absolue. L'opposé de −5 est +5 (changement de signe). La valeur absolue de −5 est 5 (on supprime le signe). Les deux donnent 5 ici, mais c'est une coïncidence pour les exemples simples : |−3| = 3 mais l'opposé de −3 = +3.
Erreur 2 : Oublier les parenthèses : (−3)² = 9 mais −3² = −9. Sans parenthèses, l'exposant s'applique à 3 seulement, puis le signe moins est appliqué après. C'est une erreur très fréquente aux évaluations de 5ème.
Erreur 3 : Additionner des nombres de signes différents en prenant le mauvais signe. Pour (+3) + (−8), le résultat est −5 (signe du nombre à plus grande valeur absolue, ici −8). Beaucoup d'élèves écrivent +5 par erreur.
Questions fréquentes — Nombres relatifs
Comment simplifier une expression avec plusieurs nombres relatifs ?
La méthode la plus efficace est de regrouper d'abord tous les termes positifs ensemble, puis tous les termes négatifs, puis calculer la différence. Exemple : (+3) + (−7) + (+5) + (−2) = (3+5) + (−7−2) = 8 + (−9) = −1.
0 est-il positif ou négatif ?
Zéro est un entier relatif ni positif ni négatif. Il est son propre opposé (−0 = 0). Sa valeur absolue est |0| = 0. En termes de comparaison, tout nombre positif est supérieur à 0, et tout nombre négatif est inférieur à 0.
Quelle est la différence entre entiers relatifs (ℤ) et nombres relatifs (ℝ relatifs) ?
Les entiers relatifs ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...} sont les nombres entiers avec un signe. On peut aussi avoir des décimaux relatifs (−2,5 ; +3,7) ou des fractions relatives (−3/4). En 5ème, le programme couvre principalement les entiers et décimaux relatifs. Les fractions relatives apparaissent en 4ème–3ème.
Comment représenter un nombre relatif sur un axe numérique ?
L'axe numérique (droite des nombres) a une origine au point 0, avec les positifs à droite et les négatifs à gauche. Pour placer −4,5 : partir de 0, aller à gauche de 4 unités, puis encore d'une demi-unité. La distance entre deux nombres relatifs a et b sur l'axe est leur différence |b − a| (valeur absolue de la différence).
Comment comparer deux nombres négatifs ?
Sur la droite des nombres, le nombre le plus à droite est le plus grand. Pour les négatifs : −2 > −7 car −2 est plus proche de 0 (et donc plus à droite). Règle pratique : parmi deux nombres négatifs, celui dont la valeur absolue est la plus petite est le plus grand. |−2| = 2 < |−7| = 7, donc −2 > −7.
Qu'est-ce que la distance entre deux points sur un axe numérique ?
La distance entre deux points A (x_A) et B (x_B) sur un axe numérique est |x_B − x_A| (valeur absolue de la différence). Exemple : distance entre −3 et +5 = |5 − (−3)| = |5 + 3| = 8. On additionne les valeurs absolues quand les points sont de part et d'autre de 0.
Les règles des signes s'appliquent-elles aux fractions négatives ?
Oui, exactement de la même façon. (−2/3) × (−3/4) = +(2×3)/(3×4) = +6/12 = +1/2. Le signe est traité séparément du calcul des fractions. En pratique : déterminer d'abord le signe du résultat (même signe → positif), puis calculer la valeur absolue.
Pourquoi moins fois moins égale plus ? Intuition mathématique
Intuition : "le contraire du contraire" est la chose elle-même. Multiplier par −1 signifie "prendre l'opposé". Multiplier deux fois par −1 = revenir au point de départ. En algèbre : (−1)×(−1) = 1 parce que si on distribue (−1)×(1 + (−1)) = (−1)×0 = 0, donc (−1)×1 + (−1)×(−1) = 0, soit −1 + (−1)×(−1) = 0, donc (−1)×(−1) = +1.
